Câu hỏi:

19/09/2024 944

Tìm:

a) \[{\int {\left( {3x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} ^2}dx\];

b) \[\int {\left( {7x\sqrt[3]{x} - \frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)} dx\] (x > 0).

c) \[{\int {\left( {{3^{2x}} - 1} \right)} ^2}dx\];

d) \[\int {\left( {2 - 3{{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương IV có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có: \[{\int {\left( {3x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} ^2}dx = \int {\left( {9{x^2} - \frac{6}{x} + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)} dx\]

\[ = \int {9{x^2}dx - \int {\frac{6}{x}dx + \int {\frac{1}{{{x^4}}}dx} } } \]

\[ = 3{x^3} - 6\ln \left| x \right| - \frac{1}{{3{x^3}}} + C\].

b) Ta có: \[\int {\left( {7x\sqrt[3]{x} - \frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)} dx = \int {\left( {7{x^{\frac{4}{3}}} - {x^{ - \frac{3}{2}}}} \right)dx} \]

\[ = 7.\frac{3}{7}{x^{\frac{7}{3}}} - \left( { - 2} \right){x^{ - \frac{1}{2}}} + C\]

\[ = 3{x^2}.\sqrt[3]{x} + \frac{2}{{\sqrt x }} + C\].

c) Ta có:

\[{\int {\left( {{3^{2x}} - 1} \right)} ^2}dx = \int {{{\left( {{9^x} - 1} \right)}^2}dx = \int {\left( {{9^{2x}} - {{2.9}^x} + 1} \right)dx} } \]

\[ = \int {\left( {{{81}^x} - {{2.9}^x} + 1} \right)dx} \]

\[ = \frac{{{{81}^x}}}{{\ln 81}} - \frac{{{{2.9}^x}}}{{\ln 9}} + x + C\]

\[ = \frac{{{3^{4x}}}}{{4\ln 3}} + \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 3}} + x + C\].

d) Ta có:

\[\int {\left( {2 - 3{{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx = \int {\left( {2 - 3.\frac{{1 + \cos x}}{2}} \right)dx} \]

\[ = \int {\left( {2 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos x} \right)dx} \]

\[ = \int {\left( {\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos x} \right)} dx\]

\[ = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\sin x + C\].

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của đồ thị \[y = \sqrt x \], trục hoành và đường thẳng x = 4. Đường thẳng x = a (0 < a < 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình 3). Tính giá trị của a.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \[S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx = \int\limits_0^4 {{x^{\frac{1}{2}}}dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^4} } = \frac{{16}}{3}.\]

\[{S_1} = \int\limits_0^a {\sqrt x } dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^a = \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} \]

Đường thẳng x = a (0 < a< 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau nên

\[{S_1} = \frac{S}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} = \frac{8}{3}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {{a^3}} = 4\]

\[ \Leftrightarrow {a^3} = 16 \Leftrightarrow a = 2\sqrt[3]{2}\].

Câu 2

Cho y = f(x) là hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 1. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và trục hoành.

a) f(x) = 4 – 2x².

b) \[S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx.\]

c) \[S = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx.} \]

d) \[S = \frac{{16}}{3}.\]

Xem đáp án

Lời giải

a) S

b) Đ

c) Đ

d) S

a) Quan sát đồ thị, hàm số y = f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) đi qua các điểm (0; 4), (2; 0), (−2; 0).

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}a{.0^2} + b.0 + c = 4\\a{.2^2} + b.2 + c = 0\\a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + c = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a + 2b = - 4\\4a - 2b = - 4\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\].

Do đó y = f(x) = 4 – x².

Ta có diện tích hình phẳng đó là:

\[S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx\]

\[ = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {4 - {x^2}} \right|} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{32}}{3}\].

Câu 3