Câu hỏi:

19/09/2024 174

Tính:

a) \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \];

b) \[\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} \];

c) \[\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} \];

d) \[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} \].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương IV có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có: \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \]

\[ = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2\]

\[ = \ln 2 + \frac{{16}}{3}.\]

b) Ta có: \[\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} + \frac{1}{x}} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {{e^x} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2\]

= e² − e + ln2.

c) Ta có:

\[\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{2^x} + 1} \right)\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)}}{{\left( {{2^x} + 1} \right)}}dx} \]

\[ = \int\limits_0^1 {\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x} \right)} \right|_0^1\]

\[ = \frac{4}{{\ln 4}} - \frac{2}{{\ln 2}} + 1 - \frac{1}{{\ln 4}} + \frac{1}{{\ln 2}}\]

\[ = 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}\].

d) Ta có:

\[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} \]

\[ = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( { - \cot x + x} \right)} \right|_{_{\frac{\pi }{4}}}^{\frac{\pi }{2}} = 1 + \frac{\pi }{4}\].

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của đồ thị \[y = \sqrt x \], trục hoành và đường thẳng x = 4. Đường thẳng x = a (0 < a < 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình 3). Tính giá trị của a.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \[S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx = \int\limits_0^4 {{x^{\frac{1}{2}}}dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^4} } = \frac{{16}}{3}.\]

\[{S_1} = \int\limits_0^a {\sqrt x } dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^a = \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} \]

Đường thẳng x = a (0 < a< 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau nên

\[{S_1} = \frac{S}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} = \frac{8}{3}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {{a^3}} = 4\]

\[ \Leftrightarrow {a^3} = 16 \Leftrightarrow a = 2\sqrt[3]{2}\].

Câu 2

Cho y = f(x) là hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 1. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và trục hoành.

a) f(x) = 4 – 2x².

b) \[S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx.\]

c) \[S = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx.} \]

d) \[S = \frac{{16}}{3}.\]

Xem đáp án

Lời giải

a) S

b) Đ

c) Đ

d) S

a) Quan sát đồ thị, hàm số y = f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) đi qua các điểm (0; 4), (2; 0), (−2; 0).

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}a{.0^2} + b.0 + c = 4\\a{.2^2} + b.2 + c = 0\\a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + c = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a + 2b = - 4\\4a - 2b = - 4\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\].

Do đó y = f(x) = 4 – x².

Ta có diện tích hình phẳng đó là:

\[S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx\]

\[ = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {4 - {x^2}} \right|} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{32}}{3}\].

Câu 3