Tính:
a) \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \];
b) \[\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} \];
c) \[\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} \];
d) \[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} \].
Tính:
a) \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \];
b) \[\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} \];
c) \[\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} \];
d) \[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} \].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \]
\[ = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \]
\[ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2\]
\[ = \ln 2 + \frac{{16}}{3}.\]
b) Ta có: \[\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} + \frac{1}{x}} \right)dx} \]
\[ = \left. {\left( {{e^x} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2\]
= e2 − e + ln2.
c) Ta có:
\[\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{2^x} + 1} \right)\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)}}{{\left( {{2^x} + 1} \right)}}dx} \]
\[ = \int\limits_0^1 {\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)dx} \]
\[ = \left. {\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x} \right)} \right|_0^1\]
\[ = \frac{4}{{\ln 4}} - \frac{2}{{\ln 2}} + 1 - \frac{1}{{\ln 4}} + \frac{1}{{\ln 2}}\]
\[ = 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}\].
d) Ta có:
\[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} \]
\[ = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)dx} \]
\[ = \left. {\left( { - \cot x + x} \right)} \right|_{_{\frac{\pi }{4}}}^{\frac{\pi }{2}} = 1 + \frac{\pi }{4}\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có: \[S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx = \int\limits_0^4 {{x^{\frac{1}{2}}}dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^4} } = \frac{{16}}{3}.\]
\[{S_1} = \int\limits_0^a {\sqrt x } dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^a = \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} \]
Đường thẳng x = a (0 < a< 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau nên
\[{S_1} = \frac{S}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} = \frac{8}{3}\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {{a^3}} = 4\]
\[ \Leftrightarrow {a^3} = 16 \Leftrightarrow a = 2\sqrt[3]{2}\].
Lời giải
a) Ta có: \[y'\left( t \right) = {\left[ {\ln N\left( t \right)} \right]^\prime }\]
\[ = \frac{{N'\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \frac{{0,2N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = 0,2.\]
Suy ra \[y\left( t \right) = \int {y'\left( t \right)dt = \int {0,2dt = 0,2t + C.} } \]
Do đó, lnN(t) = 0,2t + C, suy ra N(t) = e0,2t + C = C0.e0,2 (với C0 = eC).
Ta có: N(0) = 2 000, suy ra C0 = 2 000.
Do đó, N(t) = 2 000.e0,2t, 0 ≤ t ≤ 5.
b) Ta có: N(3) = 2 000. e0,2.3 ≈ 3 600 (cá thể).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập