Tính:

a) \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \];

b) \[\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} \];

c) \[\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} \];

d) \[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} \].

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của đồ thị \[y = \sqrt x \], trục hoành và đường thẳng x = 4. Đường thẳng x = a (0 < a < 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình 3). Tính giá trị của a.

Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc với tốc độ v₀ = 5 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi x = 3 m/s².

a) Sau 5 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, tốc độ của xe là bao nhiêu?

b) Tính quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc.

Cho y = f(x) là hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 1. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và trục hoành.

a) f(x) = 4 – 2x².

b) \[S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx.\]

c) \[S = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx.} \]

d) \[S = \frac{{16}}{3}.\]

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3] và thỏa mãn \[\int\limits_1^3 {\left[ {3{x^2} - 2f'\left( x \right)} \right]dx} = 4;{\rm{ }}f\left( 1 \right) = - 2\]. Giá trị f(3) là:

A. 9.

B. 11.

C. −13.

D. 19.

Cho hàm số f(x) = 3x – 1. Biết rằng a là số thỏa mãn \[\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx = a{{\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right]}^2}} \]. Giá trị của a là:

A. 2.

B. \[\frac{1}{4}.\]

C. 4.

D. \[\frac{1}{2}.\]

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 5]. Tính \[\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} \], biết rằng \[\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 4;\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx = 6;\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx = 3.} } \]

Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thỏa mãn công thức N'(t) = 0,2N(t), 0 ≤ t ≤ 5,

trong đó t là thời gian tính theo ngày, N(t) là số cá thể muỗi tại thời điểm t. Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2 000 cá thể.

a) Đặt y(t) = lnN(t), 0 ≤ t ≤ 5.

Chứng tỏ rằng y'(t) = 0,2. Từ đó, tìm N(t) với 0 ≤ t ≤ 5.

b) Tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).