Tính:

a) \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \];

b) \[\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} \];

c) \[\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} \];

d) \[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} \].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương IV có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có: \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \]

\[ = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2\]

\[ = \ln 2 + \frac{{16}}{3}.\]

b) Ta có: \[\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} + \frac{1}{x}} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {{e^x} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2\]

= e² − e + ln2.

c) Ta có:

\[\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{2^x} + 1} \right)\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)}}{{\left( {{2^x} + 1} \right)}}dx} \]

\[ = \int\limits_0^1 {\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x} \right)} \right|_0^1\]

\[ = \frac{4}{{\ln 4}} - \frac{2}{{\ln 2}} + 1 - \frac{1}{{\ln 4}} + \frac{1}{{\ln 2}}\]

\[ = 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}\].

d) Ta có:

\[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} \]

\[ = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( { - \cot x + x} \right)} \right|_{_{\frac{\pi }{4}}}^{\frac{\pi }{2}} = 1 + \frac{\pi }{4}\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của đồ thị \[y = \sqrt x \], trục hoành và đường thẳng x = 4. Đường thẳng x = a (0 < a < 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình 3). Tính giá trị của a.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \[S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx = \int\limits_0^4 {{x^{\frac{1}{2}}}dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^4} } = \frac{{16}}{3}.\]

\[{S_1} = \int\limits_0^a {\sqrt x } dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^a = \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} \]

Đường thẳng x = a (0 < a< 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau nên

\[{S_1} = \frac{S}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} = \frac{8}{3}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {{a^3}} = 4\]

\[ \Leftrightarrow {a^3} = 16 \Leftrightarrow a = 2\sqrt[3]{2}\].

Câu 2

Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc với tốc độ v₀ = 5 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi x = 3 m/s².

a) Sau 5 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, tốc độ của xe là bao nhiêu?

b) Tính quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có:

Mà v(0) = v₀ = 5 nên 3.0 + C = 5 hay C = 5.

Suy ra v(t) = 3t + 5 (m/s), do đó v(5) = 3.5 + 5 = 20 (m/s).

b) Quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc là:

\[s = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {3t + 5} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^5\] = 62,5 (m).

Câu 3