Cho điểm A và đường tròn (O; R) sao cho R < OA < 3R.

a) Chứng minh rằng đường tròn (A; 2R) cắt đường tròn (O; R). Gọi B là một trong hai giao điểm của chúng.

b) Gọi C là điểm đối xứng với B qua O. Nối A với C cắt (O) tại D (khác C). Chứng minh rằng AD = DC.

a) Vì I là trung điểm AB nên ta có AI = AB – IB.

Do đó hai đường tròn (I; IB) và (A; AB) tiếp xúc trong với nhau.

b) Vì D nằm trên đường tròn (A; AB) nên AD = AB, suy ra tam giác ACB cân tại A.

Xét tam giác ACB có:

CI là trung tuyến của tam giác (I là trung điểm AB)

$CI=IB=\frac{AB}{2}$ (CI là bán kính của (I), AB là đường kính của (I))

Suy ra tam giác ACB vuông tại C, do đó AC ⊥ CB hay AC ⊥ BD.

Tam giác ABD cân tại A có AC là đường cao nên AC đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABD, suy ra C là trung điểm BD hay CB = CD.

Vậy CB = CD.

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác với tam giác ABC, ta có:

AB + AC > BC > AB – AC

Do đó tam giác (B; BA) và (C; CA) cắt nhau. (đpcm)

b) Xét ∆ABC và ∆A'BC có:

AB = A'B (A và A' cùng nằm trên đường tròn (B))

AC = A'C (A và A' cùng nằm trên đường tròn (C))

Chung cạnh BC

Do đó ∆ABC = ∆A'BC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{A\text{'}BC}$ (hai góc tương ứng) hay BC là đường phân giác của $\widehat{ABA\text{'}}.$

Mà tam giác ABA' cân tại B do AB = A'B, suy ra BC là đường phân giác của góc $\widehat{ABA\text{'}}.$ cũng đồng thời là đường trung trực của AA'.

Do đó A và A' đối xứng với nhau qua BC. (đpcm)

c) Gọi D là giao điểm của BC và AA'.

Theo câu b) ta có AD = DA' (do A và A' đối xứng qua BC) và BC ⊥ AA', suy ra tam giác ABD và ACD vuông tại D.

Do AD = A'D nên $AD=A\text{'}D=\frac{AA\text{'}}{2}=\frac{24}{2}=12$ (cm).

– Áp dụng định lý Pythagore với tam giác ABD, ta có:

$BD=\sqrt{A{B}^2-A{D}^2}=\sqrt{{15}^2-{12}^2}=9$ (cm)

– Áp dụng định lý Pythagore với tam giác ADC ta có:

$DC=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=5$ (cm).

Vậy BC = BD + CD = 9 + 5 = 14 (cm).