Cho I là trung điểm của đoạn AB. Xét các đường tròn (I; IB) và (A; AB).

a) Hai đường tròn (I) và (A) nói trên có vị trí tương đối như thế nào?

b) Đường thẳng đi qua B, cắt các đường tròn (I) và (A) làn lượt tại C và D. Hãy so sánh các độ dài BC và CD.

a) Do OO' = 4 < 5 = 2 + 3 nên (O) và (O') cắt nhau.

b) Do OO' = 5 = 2 + 3 nên (O) và (O') tiếp xúc với nhau.

c) Do OO' = 6 > 5 = 2 + 3 nên (O) và (O') không giao nhau.

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác với tam giác ABC, ta có:

AB + AC > BC > AB – AC

Do đó tam giác (B; BA) và (C; CA) cắt nhau. (đpcm)

b) Xét ∆ABC và ∆A'BC có:

AB = A'B (A và A' cùng nằm trên đường tròn (B))

AC = A'C (A và A' cùng nằm trên đường tròn (C))

Chung cạnh BC

Do đó ∆ABC = ∆A'BC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{A\text{'}BC}$ (hai góc tương ứng) hay BC là đường phân giác của $\widehat{ABA\text{'}}.$

Mà tam giác ABA' cân tại B do AB = A'B, suy ra BC là đường phân giác của góc $\widehat{ABA\text{'}}.$ cũng đồng thời là đường trung trực của AA'.

Do đó A và A' đối xứng với nhau qua BC. (đpcm)

c) Gọi D là giao điểm của BC và AA'.

Theo câu b) ta có AD = DA' (do A và A' đối xứng qua BC) và BC ⊥ AA', suy ra tam giác ABD và ACD vuông tại D.

Do AD = A'D nên $AD=A\text{'}D=\frac{AA\text{'}}{2}=\frac{24}{2}=12$ (cm).

– Áp dụng định lý Pythagore với tam giác ABD, ta có:

$BD=\sqrt{A{B}^2-A{D}^2}=\sqrt{{15}^2-{12}^2}=9$ (cm)

– Áp dụng định lý Pythagore với tam giác ADC ta có:

$DC=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=5$ (cm).

Vậy BC = BD + CD = 9 + 5 = 14 (cm).