Phương trình \[{\rm{sinx = }}\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{2019}}}}\] có bao nhiêu nghiệm thực?

Đặt\[{\rm{t = cos2x,}}\, - 1 \le {\rm{t}} \le 1\]

Phương trình\[{\rm{3f}}\left( {{\rm{cos2x}}} \right) - {\rm{4 = 0}}\]trở thành\[{\rm{3f}}\left( {\rm{t}} \right) - {\rm{4 = 0}} \Leftrightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{t}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}\]

Từ bảng biến thiên ta có\[{\rm{t = 1,}}\,{\rm{t = a}} \in \left( { - 1;0} \right)\]

Ta có bảng biến thiên của\[{\rm{y = cosx}}\]trên\[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]

* Với\[{\rm{t = 1}} \Rightarrow {\rm{cos2x = 1}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = 2}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm 1\]

Từ bảng biến thiên của hàm\[{\rm{y = cosx}}\]trên\[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]ta có \[{\rm{cosx = }} \pm 1\] có bốn nghiệm phân biệt

*Với \[{\rm{t = a,}}\,{\rm{a}} \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow {\rm{cos2x = a}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = a + 1}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \]

Khi đó, từ bảng biến thiên của hàm \[{\rm{y = cosx}}\] trên \[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]ta có \[{\rm{cosx = }}\sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( {0;1} \right)\] có ba nghiệm phân biệt; \[{\rm{cosx = }} - \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( { - 1;0} \right)\] có bốn nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình có 11 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C

Vì\[{\rm{sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right)} \right| \le {\rm{1}} \Rightarrow {\rm{y = 4sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right){\rm{ + 10}} \le {\rm{14}}} \right|\]

Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất

\[ \Leftrightarrow {\rm{y = 14}} \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right)} \right|{\rm{ = 1}} \Leftrightarrow \frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi }} \Leftrightarrow {\rm{t = 149 + 356k}}\]

Mà \[0 < {\rm{t}} \le 365 \Leftrightarrow 0 < 149 + 356{\rm{k}} \le 365 \Leftrightarrow - \frac{{149}}{{356}} < {\rm{k}} \le \frac{{54}}{{89}}\]

Vì\[{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\] nên k = 0.

Với k = 0 t = 149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện \[0 < t \le 365\]thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).

Đáp án cần chọn là: B