Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một hàm số \[{\rm{y = 4sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right)} \right|{\rm{ + 10}}\], với \[t \in Z\]và \[{\rm{0 < t}} \le {\rm{365}}\]. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ?.

\[{\rm{h = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{\pi t}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right){\rm{ + 3}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + 3 = }}\frac{{\rm{7}}}{{\rm{2}}}\]

Đẳng thức xảy ra khi\[{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{\pi t}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right){\rm{ = 1}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm{\pi t}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ = k2\pi }} \Leftrightarrow {\rm{t = 14k}}\]

Do\[{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]và \[0\left( {\rm{h}} \right) \le {\rm{t}} \le 24\left( {\rm{h}} \right)\]nên k = 1. Vậy t = 14(h)

Đáp án cần chọn là: D

Đặt\[{\rm{t = cos2x,}}\, - 1 \le {\rm{t}} \le 1\]

Phương trình\[{\rm{3f}}\left( {{\rm{cos2x}}} \right) - {\rm{4 = 0}}\]trở thành\[{\rm{3f}}\left( {\rm{t}} \right) - {\rm{4 = 0}} \Leftrightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{t}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}\]

Từ bảng biến thiên ta có\[{\rm{t = 1,}}\,{\rm{t = a}} \in \left( { - 1;0} \right)\]

Ta có bảng biến thiên của\[{\rm{y = cosx}}\]trên\[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]

* Với\[{\rm{t = 1}} \Rightarrow {\rm{cos2x = 1}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = 2}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm 1\]

Từ bảng biến thiên của hàm\[{\rm{y = cosx}}\]trên\[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]ta có \[{\rm{cosx = }} \pm 1\] có bốn nghiệm phân biệt

*Với \[{\rm{t = a,}}\,{\rm{a}} \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow {\rm{cos2x = a}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = a + 1}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \]

Khi đó, từ bảng biến thiên của hàm \[{\rm{y = cosx}}\] trên \[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]ta có \[{\rm{cosx = }}\sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( {0;1} \right)\] có ba nghiệm phân biệt; \[{\rm{cosx = }} - \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( { - 1;0} \right)\] có bốn nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình có 11 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C