Câu hỏi:

31/01/2025 60

Nếu \[{\rm{tan}}\left( {\rm{\alpha }} \right)\] và \[{\rm{tan}}\left( {\rm{\beta }} \right)\] là nghiệm của phương trình \[{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - {\rm{px + q = 0, (q}} \ne 1)\] thì giá trị của biểu thức \[{\rm{Q = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{\alpha + \beta }}} \right){\rm{ + psin}}\left( {{\rm{\alpha + \beta }}} \right){\rm{cos}}\left( {{\rm{\alpha + \beta }}} \right){\rm{ + qsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{\alpha + \beta }}} \right)\] bằng

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có \[{\rm{tan}}\left( {\rm{\alpha }} \right)\]và \[{\rm{tan}}\left( {\rm{\beta }} \right)\]là nghiệm của phương trình \[{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - {\rm{px + q = 0, (q}} \ne 1)\]

Theo định lí Vi-ét ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tan(\alpha ) + tan(\beta ) = p}}}\\{{\rm{tan(\alpha )}}{\rm{.tan(\beta ) = q}}}\end{array}} \right. \Rightarrow tan(\alpha + \beta )\,\,{\rm{ = }}\frac{{{\rm{tan(\alpha ) + tan(\beta )}}}}{{{\rm{1}} - {\rm{tan(\alpha )}}{\rm{.tan(\beta )}}}}{\rm{ = }}\frac{p}{{1 - q}}\)

\[ \Rightarrow {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right){\rm{ = }}\frac{1}{{1 + ta{n^2}(\alpha + \beta )}}{\rm{ = }}\frac{1}{{1 + \frac{{{p^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}\]

\[q \ne 1 \Rightarrow \frac{{sin(\alpha )sin(\beta )}}{{cos(\alpha )cos(\beta )}} \ne 1 \Rightarrow sin(\alpha )sin(\beta ) \ne cos(\alpha )cos(\beta )\]

\[ \Rightarrow {\rm{cos(\alpha + \beta ) = cos(\alpha )cos(\beta )}} - {\rm{sin(\alpha )sin(\beta )}} \ne 0\]

\( \Rightarrow Q\,\,{\rm{ = }}co{s^2}(\alpha + \beta )\left[ {1 + p.\frac{{sin(\alpha + \beta )}}{{cos(\alpha + \beta )}} + q.\frac{{si{n^2}(\alpha + \beta )}}{{co{s^2}(\alpha + \beta )}}} \right]\)

\[{\rm{ = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{\alpha + \beta }}} \right)\left[ {{\rm{1 + p}}{\rm{.tan}}\left( {{\rm{\alpha + \beta }}} \right){\rm{ + q}}{\rm{.ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{\alpha + \beta }}} \right)} \right]\]

\({\rm{ = }}\frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}\left[ {1 + \frac{{{p^2}}}{{1 - q}} + \frac{{{p^2}q}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}} \right]{\rm{ = }}\frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}\left( {1 - q} \right) + {p^2}q}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\)

\({\rm{ = 1}}\)

Đáp án cần chọn là: D

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

\[{\rm{sin}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{ + sin}}\left( {\rm{B}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{ + cos}}\left( {\rm{B}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right)\] (1)

Nếu \[{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = 0}} \Rightarrow \frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} \Rightarrow {\rm{A}} - {\rm{B = 18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{ = A + B + C}} \Leftrightarrow {\rm{2B + C = 0}}\]

Nếu\[{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right) \ne 0\] khi đó

\[\left( {\rm{1}} \right) \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right) \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = sin}}\left( {\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}}} \right)\]do \[\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}{90^0}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{A + B = C}} \Leftrightarrow {\rm{18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} - {\rm{C = C}} \Rightarrow {\rm{C = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2

Lời giải

Ta có:\[{\rm{cos}}\left( {{\rm{a + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right) - {\rm{sin}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{sin}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{cos}}\left( {\rm{a}} \right) - \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{sin}}\left( {\rm{a}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP