Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \(A\) có 3 đỉnh thuộc \(\left( O \right),\) đường cao \(AH,\) biết\(AB = 6{\rm{\;cm,}}\,\,AC = 8{\rm{\;cm}}.\) Khi đó độ dài đường tròn có đường kính \(AH\) bằng          

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABC}\) là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{AC}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) hay \(AC \cdot AB = AH \cdot BC.\)

Khi đó, \[\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{{{\left( {AC \cdot AB} \right)}^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{{{\left( {AH \cdot BC} \right)}^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{H^2} \cdot B{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}.\]

Nên \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}},\] suy ra \(A{H^2} = \frac{{576}}{{25}}\) do đó \(AH = \frac{{24}}{5} = 4,8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Vậy độ dài đường tròn có đường kính \(AH\) bằng \(2\pi \cdot \frac{{4,8}}{2} = 4,8\pi {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)