II. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Câu 21-23. (2,5 điểm)

1) Rút gọn biểu thức \(A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{\sqrt a - a}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{2}{{a - 1}}} \right)\) với \(a > 0,\,\,a \ne 1.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(LM = LN + NM = 8 + 4 = 12{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích nửa hình tròn đường kính \(LN\) là: \({S_1} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{8}{2}} \right)^2} = 8\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích nửa hình tròn đường kính \(LM\) là: \({S_2} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} = 18\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích nửa hình tròn đường kính \(NM\) là: \({S_3} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{4}{2}} \right)^2} = 2\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích phần kẻ sọc ở hình đã cho là: \(S = {S_2} - {S_1} + {S_3} = 18\pi - 8\pi + 2\pi = 12\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh nam và nữ của đội tuyển lần lượt là \(x,\;y\) (học sinh)\(\left( {x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

\(\frac{1}{2}\) số học sinh nam của đội tuyển là: \(\frac{1}{2}x\) (học sinh).

\(\frac{5}{8}\) số học sinh nữ của đội tuyển là: \(\frac{5}{8}y\) (học sinh).

Thi đấu theo cặp thì số học sinh nam thi đấu bằng số học sinh nữ thi đấu nên ta có phương trình: \(\frac{1}{2}x = \frac{5}{8}y\) hay \(4x = 5y\) nên \(4x - 5y = 0.\) (1)

Số học sinh nam còn lại để cổ vũ là: \(x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x\) (học sinh).

Số học sinh nữ còn lại để cổ vũ là: \(y - \frac{5}{8}y = \frac{3}{8}y\) (học sinh).

Theo bài, số học sinh còn lại không thi đấu là 16 học sinh nên ta có phương trình:

\(\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}y = 16\) hay \(4x + 3y = 128.\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 5y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4x + 3y = 128\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2), ta được phương trình:

\( - 8y =  - 128\) suy ra \(y = 16\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 16\) vào phương trình (1), ta được:

\[4x - 5 \cdot 16 = 0\] suy ra \(4x = 80\) nên \(x = 20\) (thỏa mãn).

Vậy đội tuyển có tất cả \(20 + 16 = 36\) học sinh.