Câu 27- 29: (2,0 điểm) Cho $\left( O \right)$ có đường kính $AB.$ Kẻ đường kính $CD$ vuông góc với $AB.$ Lấy $M$ thuộc cung nhỏ  $AM$ cắt $CD$ tại $E.$ Qua $D$ kẻ tiếp tuyến với $\left( O \right)$ cắt đường thẳng $BM$ tại $N.$ Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $DN.$

 

1) Chứng minh rằng các điểm $M,\,\,N,\,\,D,\,\,E$ cùng thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {CDM} = \widehat {CBM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CM)$ hay $\widehat {EDM} = \widehat {CBM}$ (1)

Vì tứ giác $MNDE$ có 4 đỉnh thuộc đường tròn đường kính $EN$ (câu a) nên $\widehat {EDM} = \widehat {ENM}$ (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EM)$

Từ (1) và (2) ta có $\widehat {CBM} = \widehat {ENM}\,\,\,\left( { = \widehat {EDM}} \right).$

Mà hai góc $\widehat {CBM},\,\,\widehat {ENM}$ này ở vị trí đồng vị nên $EN\,{\rm{//}}\,CB.$

⦁ Ta có $BP \bot DN$ nên $\widehat {BPN} = 90^\circ .$

Ta có $DN \bot CD$ và $AB \bot CD$ nên $BA\,{\rm{//}}\,DN,$ suy ra $\widehat {ABM} = \widehat {DNB}$ (đồng vị).

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta BPN$ có:

$\widehat {AMB} = \widehat {BPN} = 90^\circ$ và $\widehat {ABM} = \widehat {BND}$

Do đó (g.g).