Câu 5-7: (3,0 điểm)

2) Cho biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{\sqrt x + 1}},\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức \(A.\)

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) nhận giá trị nguyên.

a) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - 2 \cdot \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right) \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

 \[ = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 - 2\sqrt x + 2}}{{x - 1}}\]\( = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}.\)

Vậy với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) thì \(A = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}.\)

b) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\), ta có: \(A = \frac{{x + 3}}{{x - 1}} = 1 + \frac{4}{{x - 1}},\) biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên khi \(\frac{4}{{x - 1}}\) là số nguyên, suy ra \(x - 1\) là ước của 4.

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\) nên \(x - 1 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\)

Lại có \(x \ge 0\) nên \(x - 1 \ge - 1.\) Do đó \(x - 1 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\,4} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Kết hợp điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) suy ra \(x = 0;\,\,x = 2;\,\,x = 3;\,\,x = 5.\)

Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,2;\,\,3;\,\,5} \right\}\) thì biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên.