(1,0 điểm) Một người chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi người đó thu được là 54 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6\% \) năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8\% \) năm. Tính số tiền người đó đầu tư cho mỗi khoản.

Đáp án đúng là: A

Đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật \(MNPQ\) là đường tròn đường kính \(MP.\)

Xét \(\Delta MPQ\) vuông tại \(Q,\) theo định lí Pythagore, ta có:

\(M{P^2} = M{Q^2} + P{Q^2} = {5^2} + {12^2} = 169.\) Do đó \(MP = 13{\rm{\;cm}}.\)

Vận tốc của người đó chạy ngược chiều gió là: \(v - 6\) (km/h) \(\left( {v > 6} \right).\)

Thời gian người đó chạy hết quãng đường \(s\) (km) là: \(\frac{s}{{v - 6}}\) (giờ).

 Khi đó, \(E\left( v \right) = c \cdot {v^3} \cdot \frac{s}{{v - 6}} = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}}\) (Jun).

Để năng lượng tiêu hao ít nhất thì \(E\left( v \right) = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}}\) nhỏ nhất.

Ta có: \[E\left( v \right) = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}} = cs \cdot \left( {{v^2} + 6v + 36 + \frac{{216}}{{v - 6}}} \right) = cs \cdot \left[ {{{\left( {v - 6} \right)}^2} + 18\left( {v - 6} \right) + 108 + \frac{{216}}{{v - 6}}} \right]\]

 \[ = cs \cdot \left[ {{{\left( {v - 6} \right)}^2} + \frac{{27}}{{v - 6}} + \frac{{27}}{{v - 6}} + 18\left( {v - 6} \right) + \frac{{162}}{{v - 6}} + 108} \right]\]

 \[ \ge cs \cdot \left[ {3\sqrt[3]{{{{\left( {v - 6} \right)}^2} \cdot \frac{{27}}{{v - 6}} \cdot \frac{{27}}{{v - 6}}}} + 2\sqrt {18\left( {v - 6} \right) \cdot \frac{{162}}{{v - 6}}} + 108} \right]\] (Bất đẳng thức Cauchy)

 \[ = cs \cdot \left[ {3 \cdot 9 + 2 \cdot 54 + 108} \right] = 243cs.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {v - 6} \right)^2} = \frac{{27}}{{v - 6}}\\18\left( {v - 6} \right) = \frac{{162}}{{v - 6}}\end{array} \right.,\] tức là \(v = 9\) (thỏa mãn).

Vậy người đó cần chạy với vận tốc 9 km/h để năng lượng tiêu hao trong quá trình chạy là ít nhất bằng \(243cs\) Jun.