Câu 4-5. (1,0 điểm) Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao 75 m so với mặt của cây cầu và cách nhau 400 m. Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) như hình bên và được treo trên đỉnh tháp.

1) Xác định hệ số \(a\) của hàm số trên.

Hướng dẫn giải

1) Giải phương trình: \(3{x^2} - 7x + 2 = 0\)

Phương trình có \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 > 0\) và \(\sqrt \Delta   = \sqrt {25} = 5.\)

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{7 + 5}}{{2 \cdot 3}} = 2;\,\,{x_1} = \frac{{7 - 5}}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{3}.\)

2) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x + 2y = 4\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Từ phương trình (1) của hệ ta có \(x = 3y + 5\,\,\,(3),\) thế vào phương trình (2) của hệ, ta được:

\[3\left( {3y + 5} \right) + 2y = 4\] hay \(11y = - 11,\) suy ra \(y = - 1.\)

Thay \(y = - 1\) vào phương trình (3), ta được:

\(x = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 = 2.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {2;\,\, - 1} \right).\)

Hướng dẫn giải

1) Chiều dài của phần đất làm nhà là: \(28 - \left( {y + 4} \right) = 24 - y\) (m).

Chiều rộng của phần đất làm nhà là: \(24 - y\) (m).

Vì các kích thước là số dương nên \(y > 0\) và \(24 - y > 0,\) suy ra \(y > 0\) và \(y < 24.\)

Biểu thức \(Q\) biểu diễn diện tích làm nhà là:

\(Q = {\left( {24 - y} \right)^2} = {y^2} - 48y + 576\) (m²).