Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF. Hệ thức nào sau đây là đúng?

Đáp án đúng là: C

Do AD, BE là các đường cao nên

Vì ∆HDC vuông tại D nên ba điểm H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính HD.

∆HEC vuông tại E nên ba điểm H, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HE.

Suy ra H, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.

Các góc \[\widehat {HCD},\widehat {HED}\] cùng chắn cung HD nên \[\widehat {HCD} = \widehat {HED}\] (1).

Xét hai tam giác ∆BDE và ∆BHC, có:

\[\widehat {HCD} = \widehat {HED}\] và \[\widehat {EBC}\] chung.

Do đó, ∆BDE ᔕ ∆BHC.

Từ đó ta nhận được \[\frac{{BD}}{{BH}} = \frac{{BE}}{{BC}}\] suy ra BH.BE = BC.BD.

Chứng minh tương tự ta có CH.CF = CD.CB.

Suy ra CH.CF = CD.CB.

Do đó, chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆HBA và ∆CDA, có:

\[\widehat {BHA} = \widehat {DCA} = 90^\circ \]

\[\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, ∆HBA ᔕ ∆CDA (g.g)

Suy ra \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}\] hay AB.AC = AH.AD.