Một vật \(M\) được gắn vào đầu lò xo và dao động quanh vị trí cân bằng \(I\), biết rằng \(O\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên trục \(Ox\), toạ độ điểm \(M\) trên \(Ox\) tại thời điểm \(t\) (giây) là đại lượng \(s\) (đơn vị: cm) được tính bởi công thức \(s = 8,6\cos \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right)\). Tại mấy thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên thì \(s = 4,3\;\) cm?

Hạ bậc hai vế, ta được phương trình \(\frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2}\).

Ta có\(\cos \left( {2x + \pi } \right) = - \cos 2x\) (Áp dụng giá trị lượng giác của 2 cung hơn kém \(\pi \)).

\(\frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2} \Leftrightarrow - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {2x + \pi } \right) \Leftrightarrow - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \left( {2x} \right)\).

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{2} = 2x + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{2} = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Đáp án:           a) Sai,             b) Đúng,         c) Đúng,          d) Sai.

Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Xét nghiệm  \(x = k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 < k\pi  < \pi  \Leftrightarrow 0 < k < 1\) loại do \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Xét nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 <  - \frac{\pi }{4} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}\), do đó \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}.\)

Vậy trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4}} \right\}.\)

+ Xét nghiệm  \(x = k\pi \):

Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi  < k\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow  - 3 < k < 3\)  do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { \pm 1; \pm 2;0} \right\}\).

Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là \( \pm 2\pi ; \pm \pi ;0\). Tổng các nghiệm này là \({S_1} = 0\).

+ Xét nghiệm  \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \):

Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi  <  - \frac{\pi }{4} + k\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow  - \frac{{11}}{4} < k < \frac{{13}}{4}\)  do \(k \in \mathbb{Z}\) nên\(k \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là

\(x =  - \frac{{9\pi }}{4};x =  - \frac{{5\pi }}{4};x =  - \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{{7\pi }}{4};x = \frac{{11\pi }}{4}\).

Tổng các nghiệm này là \({S_2} = \frac{{3\pi }}{2}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) trong khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) là  \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{3\pi }}{2}.\)

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Sai.