Tính giá trị của biểu thức \(M = \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7}.\)

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Cho phương trình lượng giác \(\cot 3x =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) (*).

a) Phương trình (*) tương đương \(\cot 3x = \cot \left( {\frac{{ - \pi }}{6}} \right)\).

b) Phương trình (*) có nghiệm \(x = \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) bằng \(\frac{{ - 5\pi }}{9}\).

d) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{{2\pi }}{9}\).

Cho phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) (*).

a) Phương trình có nghiệm: \(x = \pi  + k2\pi \) và \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\), phương trình có 2 nghiệm.

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) bằng \(\frac{{7\pi }}{6}\).

d) Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\), phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{5\pi }}{6}\).

Cho phương trình \(\cos 5x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\). Tìm số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 2024;2024} \right]\) của phương trình đã cho.