Vận tốc của một con lắc đơn được mô hình hóa bởi hàm số \(v\left( t \right) = - 3\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right)\), trong đó v(t) là vận tốc được tính bằng đơn vị cm/s tại thời điểm t giây. Trong 12 giây đầu, vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất bao nhiêu lần?

a) \(2\sin x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\).

b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

c) Với k = 0 thì \(x = \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4}\). Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\).

d) Với \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

TH1: \( - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{4} + k2\pi  < \frac{\pi }{2}\)\( \Leftrightarrow  - \frac{3}{8} < k < \frac{1}{8}\) mà k Î ℤ nên k = 0. Suy ra \(x = \frac{\pi }{4}\).

TH2: \( - \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi  < \frac{\pi }{2}\)\( \Leftrightarrow  - \frac{5}{8} < k <  - \frac{1}{8}\) mà k Î ℤ nên không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) số nghiệm của phương trình (*) là 1.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;  d) Sai.

Chiều cao của mực nước tại cảng bằng 6 m nên

\(12 + 6\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) =  - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t =  - 6 + 24k,k \in \mathbb{Z}\).

Mà 0 £ t £ 24 nên t = 18. Vậy lúc 18 giờ thì chiều cao của mực nước tại cảng là 6 m.

Trả lời: 18.