Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \({\log _{25}}\frac{x}{2} = {\log _{15}}y = {\log _9}\frac{{x + y}}{4}\) và \(\frac{x}{y} = \frac{{ - a + \sqrt b }}{2}\) với a, b là các số nguyên dương. Tính a + b. 

Đặt \({\log _{25}}\frac{x}{2} = {\log _{15}}y = {\log _9}\frac{{x + y}}{4} = k\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = {25^k}\\y = {15^k}\\\frac{{x + y}}{4} = {9^k}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {2.25^k}\\y = {15^k}\\{2.25^k} + {15^k} = {4.9^k}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {2.25^k}\\y = {15^k}\\2.{\left( {\frac{{25}}{9}} \right)^k} + {\left( {\frac{{15}}{9}} \right)^k} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {2.25^k}\\y = {15^k}\\2.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^{2k}} + {\left( {\frac{5}{3}} \right)^k} - 4 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {2.25^k}\\y = {15^k}\\{\left( {\frac{5}{3}} \right)^k} = \frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{4}\end{array} \right.\).

Suy ra \(\frac{x}{y} = 2.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^k} = 2.\frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{4} = \frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2}\).

Suy ra a = 1 và b = 33. Do đó a + b = 34.