Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) với \(A\left( {4\,;6} \right),B\left( {5\,;1} \right)\), \(C\left( {1\,; - 3} \right)\).

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 5} \right)\).

b) Tọa độ điểm \(D\) thuộc \(Ox\) cách đều hai điểm \(A,B\) có hoành độ bằng \(13\).

c) \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\) là tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

d) Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt {13} }}{2}\).

a) Đúng. \(\overrightarrow {AC}  = \left( {4\sqrt 3 ;4} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} + {4^2}}  = 8\).

b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4\sqrt 3 ;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 4\sqrt 3 } \right)}^2} + {4^2}}  = 8\).

Ta thấy \(AB = AC = 8\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

Lại có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {8\sqrt 3 ;0} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( {8\sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}}  = 8\sqrt 3  \Rightarrow BC \ne AB\).

Vậy tam giác \(ABC\) không cân tại \(B\).

c) Đúng. Chu vi tam giác \(ABC:2p = AB + AC + BC = 8 + 8 + 8\sqrt 3  = 8\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\).

Nửa chu vi tam giác là \(p = 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\).

Diện tích tam giác: \({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}  = 16\sqrt 3 \).

d) Đúng. Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{{8^2} + {8^2} - {{\left( {8\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot 8 \cdot 8}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = 120^\circ \).

 Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 30^\circ \).

a) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 4} \right)\).

b) Sai. Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(I = \left( {\frac{{ - 1 + 0}}{2};\frac{{3 - 1}}{2}} \right) = \left( {\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\).

c) Sai. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 4} \right)\) , \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2;1} \right)\), \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1; - 13} \right)\) và

\(\overrightarrow {CD}  = k\overrightarrow {AB}  + h\overrightarrow {AC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k + 2h = 1\\ - 4k + h =  - 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 3\\h =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = 3\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} \). Vậy \(k + h = 2\).

d) Đúng. \(\overrightarrow {IB}  = \left( {\frac{1}{2}; - 2} \right),\,\overrightarrow {ID}  = \left( {\frac{5}{2}; - 10} \right)\). Dễ thấy \(\overrightarrow {IB}  = \frac{1}{5}\overrightarrow {ID} \) nên \(I,B,D\) thẳng hàng.