Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {1; - 4} \right),\,\,B\left( { - 2;1} \right)\). Điểm \(M\) nằm trên trục hoành sao cho tam giác \(MAB\) cân tại \(M\). Tìm hoành độ của điểm \(M\).

Ta có \(\overrightarrow u  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3 = 5m - 3\\2m = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 6 = 0\\{m^2} - 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow m = 2\).

Đáp án: 2.

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 5} \right)\).

b) Sai. Gọi \(D\left( {x\,;0} \right) \in Ox \Rightarrow AD = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 - 6} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} - 8x + 52} \);

\(BD = \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} - 10x + 26} \).

Ta có \(A{D^2} = B{D^2} \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 52 = {x^2} - 10x + 26 \Leftrightarrow 2x =  - 26 \Leftrightarrow x =  - 13\).

Vậy \(D\left( { - 13\,;0} \right)\).

c) Đúng. Gọi \(I\left( {x\,;y} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\). Ta có \(IA = IB = IC\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 10y =  - 26}\\{ - 6x - 18y =  - 42}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{1}{2}}\\{y = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\). Vậy \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\).

d) Sai. Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2} - 4} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2} - 6} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {130} }}{2}\).