Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật \(ABCD\) với độ dài\(AB = 200\,\,{\rm{m}}\), \(AD = 180\,\,{\rm{m}}\), người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ AB và cách đỉnh A khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ CD và cách đỉnh C khoảng cách 30 m.

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] sao cho \(A\left( {0;0} \right),\,B\left( {200;\,0} \right),\,C\left( {200;180} \right),D\left( {0;\,180} \right)\). Giả sử vị trí các cột điện được trồng là \({C_1},{C_2},{C_3},{C_4}\).

a) \({C_1}\left( {20\,;0} \right)\).

b) \({C_4}\left( {30;\,180} \right)\).

c) \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \).

d) Khoảng cách từ vị trí cột thứ hai đến các bờ AB, AD lần lượt là 60 m và 70 m.

Cho \(\overrightarrow u  = \left( {{m^2} + 3;2m} \right),\overrightarrow v  = \left( {5m - 3;{m^2}} \right)\), \(m\) là tham số thực. Tìm số giá trị của tham số \(m\) để  \(\overrightarrow u  = \overrightarrow v \) .

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) với \(A\left( {4\,;6} \right),B\left( {5\,;1} \right)\), \(C\left( {1\,; - 3} \right)\).

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 5} \right)\).

b) Tọa độ điểm \(D\) thuộc \(Ox\) cách đều hai điểm \(A,B\) có hoành độ bằng \(13\).

c) \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\) là tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

d) Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt {13} }}{2}\).

Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho bốn điểm \(A\left( { - 1;3} \right),\,\,B\left( {0; - 1} \right),\,\,C\left( {1;4} \right)\), \(D\left( {2; - 9} \right)\).

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 4} \right)\).

b) Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(I\left( { - 1;2} \right)\).

c) Phân tích \(\overrightarrow {CD} \) ta được: \(\overrightarrow {CD}  = k\overrightarrow {AB}  + h\overrightarrow {AC} \). Khi đó \(k + h =  - 2\).

d) Ba điểm \(I,B,D\) thẳng hàng (với \(I\) là trung điểm của \(AB\)).

Trên màn hình ra đa của một đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét, một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có tọa độ \(\left( {600;\,200} \right)\) đến thành phố B có tọa độ \(\left( {200;500} \right)\) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Giả sử \(M\left( {x;\,y} \right)\) là vị trí của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {400;300} \right)\).

b) \(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 600;y - 200} \right)\).

c) \(\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {AB} \).

d) \(M\left( {\frac{{1400}}{3};300} \right)\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {1; - 4} \right),\,\,B\left( { - 2;1} \right)\). Điểm \(M\) nằm trên trục hoành sao cho tam giác \(MAB\) cân tại \(M\). Tìm hoành độ của điểm \(M\).