Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Tìm điểm \(M\) thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OM}  =  - 4\overrightarrow a  - 3\overrightarrow a  =  - 7\overrightarrow a \).

a) Sai. \(AC = 2AO\) và vectơ \(\overrightarrow {AC} , \overrightarrow {AO} \) là hai vectơ cùng hướng nên \(\overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AO} \).

b) Đúng. Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

Mặt khác \(\overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AO} \). Vậy \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AO} \).

c) Đúng. \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\) nên \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 , \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \).

Vậy \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \).

d) Sai.

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OD} \)

\( = 4\overrightarrow {GO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {GO} \).

Nên suy ra \(\left| {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {GO} } \right| = 4GO\).

Vì hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) cạnh \(a\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(GO = \frac{1}{3}BO = \frac{1}{6}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right| = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\).