Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức \(G\left( x \right) = 0,035{x^2}\left( {15 - x} \right)\), trong đó \(x\) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (\(x\) được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Có \( - 1 \le \sin 2025x \le 1 \Leftrightarrow  - 3 \le 3\sin 2025x \le 3 \Leftrightarrow 2 \le 3\sin 2025x + 5 \le 8\)

Suy ra: \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_\mathbb{R} y = 8 \Leftrightarrow \sin 2025x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{4050}} + \frac{{k2\pi }}{{2025}}\).

a)  Khi \(m = 0\) thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng \(2\).

Thay \(m = 0\)vào \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\), ta có \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{x} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

            b)  Ta có \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{(x + m)}^2}}}\).

\( + y' = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - m - 1;\,(\,x \ne  - m)\\x =  - m + 1;\,(\,x \ne  - m)\end{array} \right.\).

 \( \Rightarrow y' = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x \ne  - m,\,\,\forall m\). Vậy hàm số luôn có 2 cực trị.

c) \( + y' = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - m - 1\\x =  - m + 1\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: \(\mathop {max}\limits_{\left( { - \infty ; - m} \right)} y =  - 2 - m\,\,;\,\,\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left( { - m; + \infty } \right)} y = 2 - m \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( { - m; + \infty } \right)} y - \mathop {{\mathop{\rm m}\nolimits} ax}\limits_{\left( { - \infty ; - m} \right)} y = 4\).

d) Khi \(m =  - 3\)thay vào \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\), ta có \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 3}}\).

            + Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 3}}\) là hàm phân thức hữu tỉ, liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

            Mặt khác \(\left[ { - 1;2} \right] \subset \left( { - \infty ;3} \right) \Rightarrow \)hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).

            + Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{{{(x - 3)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;2} \right)\) và \(y(2) = 1\).

Vì hàm số tăng trên \(\left( { - 1;2} \right)\) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất \(\mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y(2) = 1\).