Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sqrt {{x^2} - x} \). Tìm số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Hàm số xác định và liên tục trên \(D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\). Ta có:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = 1\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( x \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{x + \sqrt {{x^2} - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow y = x + \frac{1}{2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi \(x \to  + \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = 3\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {f\left( x \right) - 3x} \right) =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - x} } \right) =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{x - \sqrt {{x^2} - x} }} =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} =  - \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow y = 3x - \frac{1}{2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi \(x \to  - \infty \)

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận xiên.