Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x + 3 + m}}{{x - 2}}\) \[\left( C \right)\].

a) Khi \(m = 0\), tiệm cận đứng của hàm số là \(x = 2\).

b) Khi \(m = 0\), tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng đồ thị và đường thẳng \(x - y - 1 = 0\) thuộc parabol: \(y = {x^2}\)

c) Khi \(m = 0\), lấy \(M\) là điểm bất kỳ trên đồ thị \(\left( C \right)\), gọi \({d_1}\) là khoảng cách từ M đến đường tiệm cận tiệm cận đứng, gọi \({d_2}\) là khoảng cách từ M đến đường thẳng \(y =  - x + 2\,\). Tích \({d_1}.{d_2} = 7\)

d) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số không có tiệm cận đứng. Số phần tử của S là 1.

a) Đúng

Khi \(m = 0\) hàm số có dạng \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 2 \right)}^ + }} \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 2 \right)}^ - }} \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} =  - \infty \) nên tiệm cận đứng của hàm số là \(x = 2\).

b) Sai.

Khi \(m = 0\) hàm số có dạng \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}}\)

Tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng và đường thẳng \(x - y - 1 = 0\) là nghiệm hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x - y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\) không thỏa mãn phương trình parabol \(y = {x^2}\).

c) Sai.

Ta thấy \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) và \( - {2^2} + 4.2 + 3 \ne 0\) nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng \(x = 2\,\).

Lấy \(M\left( {0; - \frac{3}{2}} \right) \in \left( C \right)\). Ta có \({d_1}.{d_2} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{1}.\frac{{\left| { - \frac{3}{2} - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\).

d) Sai.

Hàm số không có tiệm cận đứng khi \(x = 2\) là nghiệm của phương trình \( - {x^2} + 4x + 3 + m = 0\)

Hay \( - 4 + 8 + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 7\). Vậy \(S = \emptyset \).