Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ                    

                                    

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đường thẳng \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 6}}\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

\({y^/} = \frac{{{x^2} - 2x + 6 - \left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {y^/} = \frac{{ - {x^2} - 2x + 8}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}^2}}}.\)

Suy ra \({y^/} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 4\\x = 2\end{array} \right..\) Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4;2} \right)\). Vậy câu a) đúng.

b) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\). Vậy câu b) sai.

c) \({y^/} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 4;\,y = \frac{{ - 1}}{{10}}\\x = 2;\,\,y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A\left( { - 4;\,\frac{{ - 1}}{{10}}} \right)\) và \(B\left( {2;\,\frac{1}{2}} \right)\) là \(\left( \Delta  \right):x - 10y + 3 = 0.\) Theo giả thiết, do \(d \bot \Delta \) nên \(1.\left( {2m + 3} \right) - 10.m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{8}.\) Vậy câu c) đúng.

d) Đặt \[t = \cos x - \sqrt 3 \sin x + 1 \Leftrightarrow t = 2\left( {\frac{1}{2}.\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right) + 1 \Leftrightarrow t = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 1\]; \(t \in \left[ { - 1;3} \right].\)Ta có \(g\left( t \right) = f\left( t \right) + {m^2} = \frac{{t + 1}}{{{t^2} - 2t + 6}} + {m^2},\,\,\,t \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow {g^/}\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} - 2t + 8}}{{{{\left( {{t^2} - 2t + 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 4\,\left( l \right)\\t = 2\,\left( n \right)\end{array} \right..\) Ta tính được \(g\left( { - 1} \right) = {m^2},\,\,\,g\left( 2 \right) = \frac{1}{2} + {m^2},\,\,f\left( 3 \right) = \frac{4}{9} + {m^2}.\) Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = {m^2} + \frac{1}{2}.\) Theo giả thiết, \({m^2} + \frac{1}{2} > 5 \Leftrightarrow {m^2} > \frac{9}{2} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right).\) Kết hợp với \(m\) là số nguyên và \(m \in \left[ { - 2;2028} \right]\) ta suy ra có \(2026\) giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy câu d) sai.