[ĐS] Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

a) [NB]. Đồ thị \(\left( C \right)\) có đường tiệm cận đứng là \(x = 1.\)

b) [TH]. Đồ thị \(\left( C \right)\) có đường tiệm cận xiên là \(y = x + 1\).

c) [VD]. Trên đồ thị \(\left( C \right)\) tồn tại đúng 4 điểm có tọa độ nguyên.

d) [VDC]. Giả sử đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right):\,y = mx - m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\) đồng thời tam giác \(ABC\) vuông tại đỉnh \(C\left( { - 2;0} \right).\) Khi đó, tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) tìm được bằng \(9.\)

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 6}}\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

\({y^/} = \frac{{{x^2} - 2x + 6 - \left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {y^/} = \frac{{ - {x^2} - 2x + 8}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}^2}}}.\)

Suy ra \({y^/} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 4\\x = 2\end{array} \right..\) Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4;2} \right)\). Vậy câu a) đúng.

b) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\). Vậy câu b) sai.

c) \({y^/} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 4;\,y = \frac{{ - 1}}{{10}}\\x = 2;\,\,y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A\left( { - 4;\,\frac{{ - 1}}{{10}}} \right)\) và \(B\left( {2;\,\frac{1}{2}} \right)\) là \(\left( \Delta  \right):x - 10y + 3 = 0.\) Theo giả thiết, do \(d \bot \Delta \) nên \(1.\left( {2m + 3} \right) - 10.m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{8}.\) Vậy câu c) đúng.

d) Đặt \[t = \cos x - \sqrt 3 \sin x + 1 \Leftrightarrow t = 2\left( {\frac{1}{2}.\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right) + 1 \Leftrightarrow t = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 1\]; \(t \in \left[ { - 1;3} \right].\)Ta có \(g\left( t \right) = f\left( t \right) + {m^2} = \frac{{t + 1}}{{{t^2} - 2t + 6}} + {m^2},\,\,\,t \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow {g^/}\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} - 2t + 8}}{{{{\left( {{t^2} - 2t + 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 4\,\left( l \right)\\t = 2\,\left( n \right)\end{array} \right..\) Ta tính được \(g\left( { - 1} \right) = {m^2},\,\,\,g\left( 2 \right) = \frac{1}{2} + {m^2},\,\,f\left( 3 \right) = \frac{4}{9} + {m^2}.\) Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = {m^2} + \frac{1}{2}.\) Theo giả thiết, \({m^2} + \frac{1}{2} > 5 \Leftrightarrow {m^2} > \frac{9}{2} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right).\) Kết hợp với \(m\) là số nguyên và \(m \in \left[ { - 2;2028} \right]\) ta suy ra có \(2026\) giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy câu d) sai.

a) Đồ thị \(\left( C \right)\) có đường tiệm cận đứng \(x = 2\). Vậy câu a) đúng.

b) Đồ thị \(\left( C \right)\) nhận giao điểm \(2\) đường tiệm cận là \(x = 2\) và \(y = 1\) là tâm đối xứng. Dẫn đến \(I\left( {2;1} \right)\)là tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\). Vậy câu b) sai.

c) Phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} = x - 1\,\,\left( {x \ne 2} \right) \Leftrightarrow x + 2 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y =  - 1\\x = 4 \Rightarrow y = 3\end{array} \right.\). Từ đó, \(A\left( {0; - 1} \right),\,\,\,B\left( {4;3} \right).\) Dẫn đến \(AB = \sqrt {{4^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2 .\) Vậy câu c) sai.

d) Ta có \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {{x_0};1 + \frac{4}{{{x_0} - 2}}} \right)\)

Khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận đứng: \({d_1} = \left| {{x_0} - 2} \right|\).

Khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận ngang: \({d_2} = \left| {{y_0} - 1} \right| = \left| {1 + \frac{4}{{{x_0} - 2}} - 1} \right| = \frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}}\).

\[{d_1} + {d_2} = \left| {{x_0} - 2} \right| + \frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {{x_0} - 2} \right|.\frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}}} \]

\[ \Rightarrow min\left( {{d_1} + {d_2}} \right) = 4\]\[ \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 2} \right| = \frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}}\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 4 \Rightarrow {y_0} = 3\\{x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} =  - 1\end{array} \right.\]. Vậy câu d) đúng.