Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 6}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

a) [NB]. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\)

b) [TH]. Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 4\).

c) [VD]. Với \(m = \frac{3}{8}\) thì đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) đi qua hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:\,\left( {2m + 3} \right)x + my + 2 = 0\).

d) [VDC].Có \(2024\) giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2;2028} \right]\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {\cos x - \sqrt 3 \sin x + 1} \right) + {m^2}\) lớn hơn \(5\).

a) Đồ thị \(\left( C \right)\) có đường tiệm cận đứng là \(x = 1.\) Vậy câu a) đúng.

b) Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow y = x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}.\) Suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\left( {x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}} \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{2}{{x - 1}} = 0\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}} \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{{x - 1}} = 0\]. Dẫn đến \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\). Vậy câu b) sai.

c) \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right):y = x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}\) có tọa độ nguyên khi \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\2 \vdots \left( {x - 1} \right)\end{array} \right.\). Từ đó

\(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\x - 1 =  - 2\\x - 1 = 1\\x - 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3;\,\,y = 7\,\\x =  - 1;\,\,y = 1\\x = 2;\,\,y = 7\\x = 0;\,\,y = 1\end{array} \right..\) Dẫn đến đồ thị \(\left( C \right)\) có đúng 4 điểm có tọa độ nguyên. Vậy câu c) đúng.

d) Phương trình hoành độ \(mx - m = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\left( {x \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\{\Delta ^/} = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\\m - 1 - 2\left( {m + 1} \right) + 1 + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m >  - 1\\m \in \mathbb{R}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m >  - 1\end{array} \right..\)

Gọi \(A\left( {{x_1};m{x_1} - m} \right),\,\,\,B\left( {{x_2};m{x_2} - m} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {CA}  = \left( {{x_1} + 2;m{x_1} - m} \right),\,\,\,\overrightarrow {CB}  = \left( {{x_2} + 2;m{x_2} - m} \right)\,\). Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 2} \right).\left( {{x_2} + 2} \right) + \left( {m{x_1} - m} \right).\left( {m{x_2} - m} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 + {m^2}\left[ {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{m - 1}} + 4.\frac{{m + 1}}{{m - 1}} + 4 + {m^2}\left( {\frac{{m + 1}}{{m - 1}} - 2.\frac{{m + 1}}{{m - 1}} + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 2{m^2} + 9m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m_1} = \frac{{9 + \sqrt {89} }}{4}\,\left( n \right)\\{m_2} = \frac{{9 - \sqrt {89} }}{4}\,\left( n \right)\end{array} \right..\) Suy ra \({m_1} + {m_2} = \frac{9}{2}.\) Vậy câu d) sai.

a) Đồ thị \(\left( C \right)\) có đường tiệm cận đứng \(x = 2\). Vậy câu a) đúng.

b) Đồ thị \(\left( C \right)\) nhận giao điểm \(2\) đường tiệm cận là \(x = 2\) và \(y = 1\) là tâm đối xứng. Dẫn đến \(I\left( {2;1} \right)\)là tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\). Vậy câu b) sai.

c) Phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} = x - 1\,\,\left( {x \ne 2} \right) \Leftrightarrow x + 2 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y =  - 1\\x = 4 \Rightarrow y = 3\end{array} \right.\). Từ đó, \(A\left( {0; - 1} \right),\,\,\,B\left( {4;3} \right).\) Dẫn đến \(AB = \sqrt {{4^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2 .\) Vậy câu c) sai.

d) Ta có \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {{x_0};1 + \frac{4}{{{x_0} - 2}}} \right)\)

Khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận đứng: \({d_1} = \left| {{x_0} - 2} \right|\).

Khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận ngang: \({d_2} = \left| {{y_0} - 1} \right| = \left| {1 + \frac{4}{{{x_0} - 2}} - 1} \right| = \frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}}\).

\[{d_1} + {d_2} = \left| {{x_0} - 2} \right| + \frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {{x_0} - 2} \right|.\frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}}} \]

\[ \Rightarrow min\left( {{d_1} + {d_2}} \right) = 4\]\[ \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 2} \right| = \frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}}\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 4 \Rightarrow {y_0} = 3\\{x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} =  - 1\end{array} \right.\]. Vậy câu d) đúng.