Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\). Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).

b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).

c) Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.

d) Đồ thị hàm số có giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận nằm trên đường thẳng \(\left( \Delta  \right):x + 2y - 3 = 0\).

a) Đúng.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2\) nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).

b) Sai.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2.1 - 3}}{{1 + 1}}\)\( =  - \frac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2.1 - 3}}{{1 + 1}}\)\( =  - \frac{1}{2}\).

Do đó, đường thẳng \(x = 1\) không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

c) Đúng.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2\) nên đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} =  + \infty \), hơn nữa chỉ khi \(x\) dần đến \( - 1\) thì \(y\) mới dần đến vô cực nên đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng là \(x =  - 1\).

Do đó, đồ thị hàm số chỉ có đúng hai đường tiệm cận.

d) Đúng.

Ta có tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là \(I\left( { - 1;2} \right)\).

Thế \(x =  - 1\) và \(y = 2\) vào phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right):x + 2y - 3 = 0\), ta được:

\( - 1 + 2.2 - 3 = 0\) (Đúng)

Vậy điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\) nằm trên đường thẳng \(\left( \Delta  \right):x + 2y - 3 = 0\).