Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

a) Đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 2\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 2\).

b) Đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\]nhận đường thẳng \[x = 2\] làm tiệm cận đứng.

c) Đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\]  có tiệm cận xiên là đường thẳng \[y = x + 2\].

d) Đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\] nhận trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị làm tâm đối xứng.

a) Đúng.

Do đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 2\] cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0 nên tung độ bằng \( - 2\).

b) Sai.

 Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 3}}{{x - 1}} =  - \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 3}}{{x - 1}} =  + \infty \] nên đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\]nhận đường thẳng \[x = 1\] làm tiệm cận đứng.

c) Sai.

Do \[a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{{x^2} - x}} = 1\] và \[b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3x - 2}}{{x - 1}} = 3\]. Suy ra đường thẳng \[y = x + 3\] là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) Đúng.

Ta có: \[y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]. \[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

+    Căn cứ bảng biến thiên:

       Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \[\left( {2;\,6} \right)\].

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \[\left( {0;\,2} \right)\].

Trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị có toạ độ \[\left( {1;\,4} \right)\].

             +     \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} =  + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} =  - \infty \]nên \[x = 1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

      Theo c)\[y = x + 3\] là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

      Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao của hai đường tiệm cận có toạ độ \[\left( {1;\,4} \right)\].

+    Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\]  nhận trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị làm tâm đối xứng.