Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới. Xét hàm số \(g(x) = f({x^3} + x - 1) + {m^2} + 2m\). Gọi \(S\)là tập hợp chứa các giá trị thực của \(m\) để \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g(x) = 3\). Tínhtổng các phần tử của tập \(S\;?\)

Đáp số : \( - 2\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x =  - 1}\end{array}} \right.\;\)và \(f(1) =  - 1,\;f( - 1) = 3\).

Xét \(g'(x) = (3{x^2} + 1)f'({x^3} + x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow f'({x^3} + x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + x - 1 =  - 1}\\{{x^3} + x - 1 = 1\quad }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right..\)

Ta thấy \(g(0) = f( - 1) + {m^2} + 2m = {m^2} + 2m + 3\) và \(g(1) = f(1) + {m^2} + 2m = {m^2} + 2m - 1.\)

 \( \Rightarrow g(0) > g(1)\)

\(\mathop { \Rightarrow \max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g(x) = g(0)\)

\( \Rightarrow g(0) = 3 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 3 = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m =  - 2}\end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow S = \left\{ { - 2;0} \right\}.\) Vậy tổng các phẩn tử của tập \(S\)bằng \( - 2\).