Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{3x - {x^2}}}{{2x - 1}}\] là đường thẳng \[y = ax + b\]. Tính giá trị của biểu thức \[P = {a^2} - b\].

Đáp số: \[ - 1\].

Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\].

Ta có \[a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x - {x^2}}}{{2{x^2} - x}} =  - \frac{1}{2}\];

\[b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{3x - {x^2}}}{{2x - 1}} + \frac{1}{2}x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5x}}{{2\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{5}{4}\].

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \[y =  - \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}\].

Vậy \[P = {a^2} - b = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} =  - 1\].