Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}\). Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Đáp số: \(3\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x + 2 = 0\\{x^2} - 2x + 2 = 1\\{x^2} - 2x + 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\) có \(3\) điểm cực trị.