Biết rằng đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\] cắt đường thẳng \[y = 2x - 1\] tại hai điểm phân biệt \[A,\,\,B\]. Tính diện tích tam giác \[OAB\].

Vận tốc của một tàu con thoi từ lúc cất cánh tại thời điểm \[t = 0\,\,\left( s \right)\] cho đến thời điểm \[t = 126\,\,\left( s \right)\] được cho bởi công thức \[v(t) = 0,001302{t^3} - 0,09029{t^2} + 83\] (vận tốc được tính bằng đơn vị \[ft/s\]). Hỏi tàu con thoi đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 5\) có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt là \(A\) và \(B\) .

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) với trục \(Ox\). Khi đó tỷ số \(\frac{{IA}}{{IB}} = \frac{b}{c}\), tính \(T = b + c\).

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng \(900\;\,{m^2}\). Biết chiều dài của mảnh vườn là \(x\,\,\left( m \right)\). Gọi biểu thức tính chu vi của mảnh vườn là \(P\left( x \right)\) (mét). Biết rằng phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(P\left( x \right)\) là \[y = ax + b\]. Tính giá trị biểu thức \[T = {10^a} + b\]

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\], thỏa mãn \[f\left( { - 1} \right) = f\left( 3 \right) = 0\] và đồ thị của hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có dạng như hình dưới đây.Hàm số \[y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\]có bao nhiêu khỏang nghịch biến.

a) Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có dạng như đường cong trong hình bên.

b)  Đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có dạng như đường cong trong hình bên.

c) Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}\) có bảng biến thiên như sau

d) Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số \(P\left( t \right) = \frac{a}{{b + {e^{ - 0,75t}}}}\) trong đó thời gian \[t\] được tính bằng giờ, các hằng số \(a,\,b \in \mathbb{R}\), đồng thời đạo hàm \[P'\left( t \right)\] biểu thị tốc độ gia tăng tế bào. Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), quần thể có \(20\) tế bào và tăng với tốc độ \(10\) tế bào/giờ. Khi đó \(a = 25\) và \(b = \frac{1}{2}\).

Gọi \(M\,,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{3\sin x + 2}}{{\sin x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{\pi }{2}} \right]\). Khi đó giá trị của \({M^2} + {m^2} = \frac{b}{c}\) , tính \(T = b - c\)