Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 3\sqrt {17} $, $BC = 3\sqrt {51} $, \[SA = 3\sqrt {17} \] và $SA$ vuông góc với đáy $ABCD$. Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[SBD\]. Tính độ dài của \[CG\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 3\sqrt {17} $, $BC = 3\sqrt {51} $, \[SA = 3\sqrt {17} \] và $SA$ vuông góc với đáy $ABCD$. Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[SBD\]. Tính độ dài của \[CG\]. (ảnh 1)$

Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.

Khi đó, ta có:

$A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {3\sqrt {17} ;0;0} \right)$, $C\left( {3\sqrt {17} ;3\sqrt {51} ;0} \right)$, $D\left( {0;3\sqrt {51} ;0} \right)$, $S\left( {0;0;3\sqrt {17} } \right)$.

\[G\] là trọng tâm của tam giác \[SBD\]$ \Rightarrow G\left( {\sqrt {17} ;\sqrt {51} ;\sqrt {17} } \right)$

Độ dài \[CG\]là: \[CG = 17\].

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], cho hai vectơ $\vec a$ và \[\overrightarrow b \] thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3$ và $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 60^\circ $.

a) \[\overrightarrow a \overrightarrow b = \sqrt 3 \].

b) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19} $.

c) $\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \sqrt 7 $.

d) $\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = 28$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Sai.\[\overrightarrow a \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\]\[ = 2.3.\cos {60^0}\]\[ = 3\].

b) Đúng. ${\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow {a.} \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}$.

$ = {\overrightarrow a ^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\overrightarrow b ^2}$.

$ = {2^2} + 2.2.3.\cos 60^\circ + {3^2} = 19$.

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19} $.

c) Đúng. ${\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow {a.} \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}$

$ = {\overrightarrow a ^2} - 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\overrightarrow b ^2}$

$ = {2^2} - 2.2.3.\cos 60^\circ + {3^2} = 4 - 6 + 9 = 7$

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \sqrt 7 $.

d) Sai. ${\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow {a.} \overrightarrow b + 4{\overrightarrow b ^2}$

$ = {\overrightarrow a ^2} - 4\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 4{\overrightarrow b ^2}$

$ = {2^2} - 4.2.3.\cos 60^\circ + {4.3^2} = 28$

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {28} .$

Câu 2

Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], cho $S\left( {1;2;3} \right)$ và các điểm $A$, $B$, $C$ thuộc các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ sao cho hình chóp $S.ABC$ có các cạnh $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc với nhau.

a) Tam giác $ABC$ là tam giác vuông.

b) $\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0$.

c) Tọa độ điểm $C$ là $C\left( {0;0;7} \right)$.

d) Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{{343}}{{36}}$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta đặt \[A(a;0;0)\],\[B(0;b;0)\],\[C(0;0;c)\].

\[\overrightarrow {SA} = (a - 1; - 2; - 3)\]; \[\overrightarrow {SB} = ( - 1;b - 2; - 3)\]; \[\overrightarrow {SC} = ( - 1; - 2;c - 3)\].

Vì $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc nên

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} \bot \overrightarrow {SB} \\\overrightarrow {SB} \bot \overrightarrow {SC} \\\overrightarrow {SA} \bot \overrightarrow {SC} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 14\\2b + 3c = 14\\a + 3c = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = \frac{7}{2}\\c = \frac{7}{3}\end{array} \right.\].

Do $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc, nên: ${V_{SABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC = \frac{1}{6}.7.\frac{7}{2}.\frac{7}{3} = \frac{{343}}{{36}}$.

a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai.

d) Đúng.

Câu 3