Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 3\sqrt {17} \), \(BC = 3\sqrt {51} \), \[SA = 3\sqrt {17} \] và \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD\). Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[SBD\]. Tính độ dài của \[CG\].

Ta đặt \[A(a;0;0)\],\[B(0;b;0)\],\[C(0;0;c)\].

\[\overrightarrow {SA}  = (a - 1; - 2; - 3)\]; \[\overrightarrow {SB}  = ( - 1;b - 2; - 3)\]; \[\overrightarrow {SC}  = ( - 1; - 2;c - 3)\].

Vì \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc nên

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  \bot \overrightarrow {SB} \\\overrightarrow {SB}  \bot \overrightarrow {SC} \\\overrightarrow {SA}  \bot \overrightarrow {SC} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 14\\2b + 3c = 14\\a + 3c = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = \frac{7}{2}\\c = \frac{7}{3}\end{array} \right.\].

Do \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc, nên: \({V_{SABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC = \frac{1}{6}.7.\frac{7}{2}.\frac{7}{3} = \frac{{343}}{{36}}\).

a)  Sai.

b)  Đúng.

c)  Sai.

d)  Đúng.

Ta có: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\]

\[ = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\]

\[ = {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\]

\[ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\]

Ta chọn điểm \[G\] sao cho : \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \]\[ \Rightarrow G\left( {1;2;3} \right)\]

Ta có: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\]\[ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + \left( {{{\overrightarrow {GA} }^2} + {{\overrightarrow {GB} }^2} + {{\overrightarrow {GC} }^2}} \right)\] và \[{\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\] không đổi

Do đó: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\] nhỏ nhất khi và chỉ khi \[{\overrightarrow {MG} ^2} = M{G^2}\] nhỏ nhất

khi và chỉ khi \[M\] là hình chiếu vuông góc của \[G\] lên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]

\[ \Rightarrow M\left( {1;0;0} \right)\]\[ \Rightarrow M{I^2} = 26\].