Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ hình chiếu của điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là

Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là \(30{\rm{N}}\) và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) lên ba chân của giá đỡ. Ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ và mặt đất là \(60^\circ .\) Hỏi độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) là bao nhiêu Newton (làm tròn đến hàng phần chục)?

Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp \(AB\) trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng \(1\;m\). Tìm được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {a;b;c} \right)\). Khi đó tính \(a + c\).

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD,\] mặt phẳng \((ABCD)\) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc \(E\) của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp \(EA,EB,EC,ED\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \((ABCD)\) một góc bằng \(60^\circ \). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) đều có cường độ là \(4700\;{\rm{N}}\) và trọng lượng của khung sắt là \(3000\;{\rm{N}}\).

a) \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}} \).

b) \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_4}} \).

c) \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 8141\;{\rm{N}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Trọng lượng của chiếc xe ô tô là \(16282\;{\rm{N}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian Oxyz, một khinh khí cầu ở toạ độ \(A\left( { - 16; - 10;10} \right)\) bắt đầu bay với véc tơ vận tốc không đổi \(\overrightarrow v \left( {4;3; - 1} \right)\) (đơn vị vận tốc là km/h) và dự kiến bay trong thời gian 10 giờ. Biết trạm kiểm soát không lưu đặt ở vị trí gốc toạ độ \(O\) kiểm soát được các vật thể cách trạm một khoảng tối đa bằng \(12\)km. Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là bao nhiêu phút?

Cho tam giác ABC có \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right),C\left( {2;1;0} \right)\).

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

b) Chu vi tam giác là \(\sqrt 7  + \sqrt 3  + \sqrt 2 \).

c) Diện tích tam giác \(ABC\) là \(\sqrt 6 \).

d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(I\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\).

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian, cho tứ diện ABCD có trọng tâm \[G\].

a) \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \].

b) \[\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right)\].

c) \[\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \].

d) \[\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\].