Cho hai góc nhọn \(a\) và \(b\). Biết \(\cos a = \frac{1}{3};\cos b = \frac{1}{4}\). Tính giá trị của biểu thức:

\(P = \cos (a + b)\cos (a - b){\rm{. }}\)

Từ một vị trí \(A\), người ta buộc hai sợi cáp \(AB\) và \(AC\) đến một cái trụ cao \(15\;m\), được dựng vuông góc với mặt đất, chân trụ ở vị trí \(D\). Biết \(CD = 9\;m\) và \(AD = 12\;m\). Tìm góc nhọn \(\alpha = \widehat {BAC}\) tạo bởi hai sợi dây cáp đó, đồng thời tính gần đúng \(\alpha \) (làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị độ).

Cho biết \(\cos x = - \frac{{12}}{{13}}\) và \(\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}\); khi đó:

a) \(\sin x > 0\)

b) \(\sin x = - \frac{5}{{13}}\)

c) \(\cot x = \frac{5}{{12}}\)

d) \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}\)

Biết \(\sin 2\alpha = - \frac{4}{5},\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Khi đó:

a) \(\cos \alpha < 0\)

b) \(2\sin \alpha \cos \alpha = - \frac{4}{5}\)

c) \(\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

d) \(\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

Một quả bóng golf kể từ lúc được đánh đến lúc chạm đất đã di chuyển được một khoảng cách \(d\left( m \right)\) theo phương nằm ngang. Biết rằng \(d = \frac{{{v_0}^2\sin 2\alpha }}{g}\) trong đó\({v_0}\left( {m/s} \right)\) là vận tốc ban đầu của quả bóng, \(g\left( {m/{s^2}} \right)\) là gia tốc trọng trường và \(\alpha \)là góc đánh quả bóng so với phương nằm ngang. Tính khoảng cách \(d\) biết rằng \({v_0} = 15\left( {m/s} \right);\)\(g = 10\left( {m/{s^2}} \right)\) và \[{\rm{cos}}\alpha = \frac{3}{5}\] với \[\left( {0 \le \alpha \le {{45}^0}} \right)\].