Trên một cánh đồng, người ta cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc. Biết rằng 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn. Gọi năng suất lúa giống mới và lúa giống cũ trên 1 ha lần lượt là \(x,\,\,y\) (đơn vị: tấn/ha).

a) Điều kiện \(x \in \mathbb{N}*,\,\,y \in \mathbb{N}*.\)

b) Tổng sản lượng thóc thu hoạch theo \(x,\,\,y\) là \(60x + 40y\) (tấn).

c) Phương trình \(3x - 4y = 3\) thể hiện 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 3 tấn.

d) Năng suất lúa mới trên 1 ha là 5 tấn.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = {a^2} + a + 1\\x - y =  - {a^2} + a - 1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = {a^2} + a + 1\\2x = 2a\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = {a^2} + 1\end{array} \right.\).

Do đó: \(3x + y = {a^2} + 3a + 1 = {\left( {a + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge  - \frac{5}{4}\) với mọi \(a \in \mathbb{R}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(3x + y\) bằng \( - \frac{5}{4}\) khi \(a =  - \frac{3}{2}\).

Đáp án: −1,5.

Gọi \[x,y\] lần lượt là số dãy và số ghế trong một dãy \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right).\]

Vì phòng học có tất cả \[200\] ghế nên ta có \[xy = 200\]            (1)

Nếu kê thêm \[2\] dãy và mỗi dãy tăng thêm \[1\] ghế thì kê được \[242\] ghế nên ta có phương trình

\[\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right) = 242\] hay \[xy + x + 2y + 2 = 242\]

Tức là, \[xy + x + 2y = 240\]            (2)

Thế \[xy = 200\] vào phương trình (2), ta được \[200 + x + 2y = 240\] hay \[x + 2y = 40\]       (3)

Từ (1), (3), ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}xy = 200\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + 2y = 40\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (3), ta có \[x = 40 - 2y\]        (*)

Thế (*) vào phương trình (1), ta được \[\left( {40 - 2y} \right)y = 200\] hay \[2{y^2} - 40y + 200 = 0.\]

Giải phương trình:

\[2{y^2} - 40y + 200 = 0\]

\[{y^2} - 20y + 100 = 0.\]

\[{\left( {y - 10} \right)^2} = 0.\]

\[y - 10 = 0.\]

\[y = 10\] (thỏa mãn điều kiện)

Với \[y = 10\], ta có \[x = 40 - 2y = 40 - 2.10 = 20\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phòng học ban đầu có \[20\] dãy ghế.

Đáp án: 20.