Cho \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\), trực tâm \(H\). Khi đó:

a) \(AH \bot BC\)

b) \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

c) \(\overrightarrow {HA}  = \overrightarrow {HB}  = \overrightarrow {HC} \)

d) \(|\overrightarrow {HA} | = |\overrightarrow {HB} | = |\overrightarrow {HC} | = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm cạnh \(BC,AB\).

Do tam giác \(ABC\) đều nên \(AM,BN\) cũng là các đường cao của tam giác \(ABC\); vì vậy \(H\) vừa là trực tâm vừa là trọng tâm tam giác này.

Áp dụng định lí Py-tha-go cho \(\Delta ABM\), ta có: \(A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}{\rm{. }}\)

Theo tính chất trọng tâm, ta có: \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Dễ thấy ba vectơ \(\overrightarrow {HA} ,\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {HC} \) có độ dài bằng nhau:

\[|\overrightarrow {HA} | = |\overrightarrow {HB} | = |\overrightarrow {HC} | = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\]