Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), có trọng tâm \(G\). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

b) \(|\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CB} | = 2a\);

c) \(|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} | = a\sqrt 3 \);

d) \(|\overrightarrow {BG}  - \overrightarrow {BC} | = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Đặt \({\vec F_1} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AD} \).

Vẽ hình bình hành \(ABCD\).

Ta có: \({\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

Vì $\widehat{BAD}={45}^{°}\Rightarrow \widehat{ABC}={135}^{°}$; \(AD = 90 = BC\)

Theo định lí cosin ta có:

$\begin{array}{ll}A{C}^2& =A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cdot \cos {135}^{°}\\ & ={60}^2+{90}^2-2\cdot 60\cdot 90\cdot \frac{-\sqrt{2}}{2}\approx 19336,75\Rightarrow AC\approx 139,06.\end{array}$

Vậy vectơ hợp lực của \({\vec F_1},\overrightarrow {{F_2}} \) có độ lớn là: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| \approx 139,06\;N\).

Vẽ hình bình hành \(ACBD\), ta có: \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CD} \).

Khi đó: \(\overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CI}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CI} \).

Lấy điểm \(N\) đối xứng với \(I\) qua \(D\), ta có \(\overrightarrow {CI}  = \overrightarrow {DN} \).

Do đó: \(\overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CI}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DN}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CN} \) (thỏa mãn).

Ta có \(:|\overrightarrow {CN} | = CN = 3CI\) với \(CI = \sqrt {A{C^2} + A{I^2}}  = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {17} }}{2}\).

Vậy \(|\overrightarrow {CN} | = \frac{{3\sqrt {17} }}{2}\).