Cho hình chữ nhật \(ABCD,AB = 3,AD = 4\). Tính \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} |\).

Đặt \({\vec F_1} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AD} \).

Vẽ hình bình hành \(ABCD\).

Ta có: \({\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

Vì $\widehat{BAD}={45}^{°}\Rightarrow \widehat{ABC}={135}^{°}$; \(AD = 90 = BC\)

Theo định lí cosin ta có:

$\begin{array}{ll}A{C}^2& =A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cdot \cos {135}^{°}\\ & ={60}^2+{90}^2-2\cdot 60\cdot 90\cdot \frac{-\sqrt{2}}{2}\approx 19336,75\Rightarrow AC\approx 139,06.\end{array}$

Vậy vectơ hợp lực của \({\vec F_1},\overrightarrow {{F_2}} \) có độ lớn là: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| \approx 139,06\;N\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  \Rightarrow |\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CB} | = |\overrightarrow {AC} | = AC = a\).

Vẽ hình bình hành \(ABDC\), gọi \(H\) là giao điểm \(AD\) và \(BC\)

Suy ra \(H\) là trung điểm của cả \(AD\) và \(BC\).

Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \). Ta có \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra: \(AD = 2AH = a\sqrt 3 \).

Vậy \(|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {AD} | = AD = a\sqrt 3 {\rm{. }}\)

Ta có: \(\overrightarrow {BG}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {CG} \).

Dễ thấy \(CG = AG = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(|\overrightarrow {BG}  - \overrightarrow {BC} | = |\overrightarrow {CG} | = CG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)