Cho tam giác \(ABC\) có . Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(E\) thoả mãn \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AC} (k \in \mathbb{R})\) (Hình). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 20\)
b) \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
c) \(BC = 3\sqrt 5 \)
d) \(AD \bot BE\) khi \(k = \frac{{14}}{{15}}\).
Cho tam giác \(ABC\) có . Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(E\) thoả mãn \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AC} (k \in \mathbb{R})\) (Hình). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 20\)
b) \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
c) \(BC = 3\sqrt 5 \)
d) \(AD \bot BE\) khi \(k = \frac{{14}}{{15}}\).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
a) Ta có:
b) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\overrightarrow {BC} }^2}}&{ = {{(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )}^2} = {{\overrightarrow {AC} }^2} - 2\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + {{\overrightarrow {AB} }^2} = {6^2} - 2 \cdot 24 + {{(4\sqrt 2 )}^2} = 20}\\{}&{ \Rightarrow BC = 2\sqrt 5 .}\\{{{\overrightarrow {AD} }^2}}&{ = {{\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)}^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)}\\{}&{ = \frac{1}{4}\left[ {{{(4\sqrt 2 )}^2} + 2 \cdot 24 + {6^2}} \right] = 29 \Rightarrow AD = \sqrt {29} .}\end{array}\)
c) Ta có: \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \). Từ đó, ta có:
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) \cdot (k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {24k + {6^2} \cdot k - {{(4\sqrt 2 )}^2} - 24} \right]\\ = 30k - 28.\end{array}\)
Khi đó \(AD \bot BE \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = 0 \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{14}}{{15}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Sai |
d) Đúng |
Xét hình thoi \(ABCD\) có ; tam giác \(ABC\) có đều cạnh
Ta có: ;
Ta có: ;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi I là tâm của hình vuông \(ABCD\)
Ta có \(:\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} = (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )\) \( = (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} - \overrightarrow {IA} ) = {\overrightarrow {MI} ^2} - {\overrightarrow {IA} ^2} = M{I^2} - I{A^2}\).
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MD} = M{I^2} - I{B^2}\).
Khi đó: \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MD} = k \Leftrightarrow 2M{I^2} - I{A^2} - I{B^2} = k \Leftrightarrow 2M{I^2} - 2I{A^2} = k\)
\( \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + I{A^2} \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \)
(trong đó \(I{A^2} = {\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)).
Nếu \(k < - {a^2}\): Tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.
Nếu \(k = - {a^2}\) thì \(MI = 0 \Leftrightarrow M \equiv I\) (điểm \(M\) trùng với điểm \(I\)).
Nếu \(k > - {a^2}\) thì \(MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \).
Khi đó tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập