Cho tam giác \(ABC\) có $AB=4\sqrt{2},AC=6,\widehat{BAC}={45}^{°}$. Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(E\) thoả mãn \(\overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AC} (k \in \mathbb{R})\) (Hình). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 20\)

b) \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

c) \(BC = 3\sqrt 5 \)

d) \(AD \bot BE\) khi \(k = \frac{{14}}{{15}}\).

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos A=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos {45}^{°}=24$

b) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Khi đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\overrightarrow {BC} }^2}}&{ = {{(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )}^2} = {{\overrightarrow {AC} }^2} - 2\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB}  + {{\overrightarrow {AB} }^2} = {6^2} - 2 \cdot 24 + {{(4\sqrt 2 )}^2} = 20}\\{}&{ \Rightarrow BC = 2\sqrt 5 .}\\{{{\overrightarrow {AD} }^2}}&{ = {{\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)}^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)}\\{}&{ = \frac{1}{4}\left[ {{{(4\sqrt 2 )}^2} + 2 \cdot 24 + {6^2}} \right] = 29 \Rightarrow AD = \sqrt {29} .}\end{array}\)

c) Ta có: \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \). Từ đó, ta có:

\(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BE}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ) \cdot (k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2} - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {24k + {6^2} \cdot k - {{(4\sqrt 2 )}^2} - 24} \right]\\ = 30k - 28.\end{array}\)

Khi đó \(AD \bot BE \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BE}  = 0 \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{14}}{{15}}\).