Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng 2 và góc \(B\) bằng ${60}^{°}$. Khi đó:

a) $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})={60}^{°}$

b) $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA})={30}^{°}$

c) \(\overrightarrow {DA}  \cdot \overrightarrow {DC}  = 3\)

d) \(\overrightarrow {OB}  \cdot \overrightarrow {BA}  =  - 3\)

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos A=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos {45}^{°}=24$

b) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Khi đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\overrightarrow {BC} }^2}}&{ = {{(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )}^2} = {{\overrightarrow {AC} }^2} - 2\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB}  + {{\overrightarrow {AB} }^2} = {6^2} - 2 \cdot 24 + {{(4\sqrt 2 )}^2} = 20}\\{}&{ \Rightarrow BC = 2\sqrt 5 .}\\{{{\overrightarrow {AD} }^2}}&{ = {{\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)}^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)}\\{}&{ = \frac{1}{4}\left[ {{{(4\sqrt 2 )}^2} + 2 \cdot 24 + {6^2}} \right] = 29 \Rightarrow AD = \sqrt {29} .}\end{array}\)

c) Ta có: \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \). Từ đó, ta có:

\(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BE}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ) \cdot (k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2} - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {24k + {6^2} \cdot k - {{(4\sqrt 2 )}^2} - 24} \right]\\ = 30k - 28.\end{array}\)

Khi đó \(AD \bot BE \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BE}  = 0 \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{14}}{{15}}\).

Gọi I là tâm của hình vuông \(ABCD\)

Ta có \(:\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MC}  = (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} )\) \( = (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI}  - \overrightarrow {IA} ) = {\overrightarrow {MI} ^2} - {\overrightarrow {IA} ^2} = M{I^2} - I{A^2}\).

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {MD}  = M{I^2} - I{B^2}\).

Khi đó: \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {MD}  = k \Leftrightarrow 2M{I^2} - I{A^2} - I{B^2} = k \Leftrightarrow 2M{I^2} - 2I{A^2} = k\)

\( \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + I{A^2} \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \)

(trong đó \(I{A^2} = {\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)).

Nếu \(k <  - {a^2}\): Tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.

Nếu \(k =  - {a^2}\) thì \(MI = 0 \Leftrightarrow M \equiv I\) (điểm \(M\) trùng với điểm \(I\)).

Nếu \(k >  - {a^2}\) thì \(MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \).

Khi đó tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \).