Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm H. Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xét \(\Delta MAD\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{M{D^2}}&{ = A{D^2} + A{M^2}}\\{}&{ = {a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.}\end{array}\)

Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(AB\) tại \(P\).

Khi đó tứ giác \(ADNP\) là hình vuông và \(PM = PA + AM = a + \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2}\).

Xét tam giác \(NPM\) vuông tại \(P\), ta có: \(M{N^2} = P{M^2} + P{N^2} = {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} + {a^2} = \frac{{13{a^2}}}{4} \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)

Vậy các độ dài vectơ cần tìm là: \(|\overrightarrow {MD} | = MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},|\overrightarrow {MN} | = MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

Cách 1. \(JA = \frac{2}{3}JC \Leftrightarrow 3JA = 2JC\) mà \(\overrightarrow {JA} \) và \(\overrightarrow {JC} \) ngược hướng

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {JA}  =  - 2\overrightarrow {JC}  \Leftrightarrow 3(\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BJ} ) + 2(\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BJ} ) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {BJ}  = 3\overrightarrow {BA}  + 2\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BJ}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA}  + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \).

Cách 2: J thuộc cạnh AC và \(JA = \frac{2}{3}JC \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow AJ = \frac{2}{5}AC\)

\(\overrightarrow {BJ}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{5}(\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA} ) = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA}  + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \)