Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {\tan x} ,y = 0,x = 0,x = \frac{\pi }{4}\) quay xung quanh trục \(Ox\). Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là \({S_A} = 4\) và \({S_B} = 10\). Tính giá trị của \(f\left( 3 \right)\), biết giá trị của \(f\left( 0 \right) = 2\).

Cho đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y = x - 1\) và \({S_1};{S_2}\) là phần diện tích phần được tô như hình bên dưới

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y = x - 1\) là \(\int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} \).

b) \({S_1} = \frac{4}{3}\).

c) \({S_1} = {S_2}\).

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2,y = x - 1,x = 0,x = 3\) là \(\int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx = 1} \).

Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB) trong hình vẽ bên.

Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = 2{e^x}\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\).

a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là \(S = \pi \int\limits_0^4 {xdx} \).

b) Gọi \(V\) là diện tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) khi quay quanh trục \(Ox\). Khi đó \(V = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)\).

c) Diện tích của hình H là \({S_H} = 2{e^4} - \frac{{16}}{3}\).

d) Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục \(Ox\)là \(2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)\).

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x,x = 1,x = 2\) và trục hoành. Gọi S là diện tích của D.

a) \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \).

b) \(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} \).

c) Thể tích của khối tròn xoay khi quay D quanh trục Ox được tính bằng \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {{x^2} - x} \right)}^2}dx} \).

d) \(S = \frac{5}{6}\).

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 4} \), trục hoành và trục tung. Biết đường thẳng \(d:ax + by - 16 = 0\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) và chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính \(a + b\).