Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\); \(\left( Q \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) lần lượt có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\). Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) khi và chỉ khi

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 4; 9). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho OA + OB + OC  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P). (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 1), B(1; −2; 3), C(2; −1; 2).

a) Ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng.

b) Có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C đã cho.

c) Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2;3} \right)\).

d) Mặt phẳng (ABC) có phương trình là \(x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; −2) và D(2; 1; 3). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD vẽ từ đỉnh D bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T = a - 2b\).

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0), B(3; 4; −2) và (P): x – y + z – 4 = 0. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + 2 = 0. Tính \(a + b + c\).

Trong không gian Oxyz, cho M(−2; −4; 3) và (P): 2x – y + 2z – 3 = 0, (Q): 2x – y + 2z – 6 = 0.

a) d(M, (P)) = 2.

b) M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

c) d((P), (Q)) = 1.

d) (α) song song và cách (Q) một khoảng bằng 2 có phương trình là (α): 2x – y + 2z – 9 = 0.