Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; −2) và D(2; 1; 3). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD vẽ từ đỉnh D bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T = a - 2b\).

a) \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.\left( { - 2} \right) + 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 4\).

b) (P) cắt trục Ox tại điểm \(\left( { - \frac{3}{2};0;0} \right)\) có hoành độ \( - \frac{3}{2}\).

c) (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 2;1} \right)\).

d) Vì M Î (P) nên 2a – 2b + c + 3 = 0 (1).

Lại có \(AM = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 4\) Þ M là hình chiếu vuông góc của A lên (P).

Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 1;b + 2;c - 3} \right)\) cùng phương với vectơ pháp tuyến của (P) \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 2;1} \right)\).

Khi đó ta có \(\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b + 2}}{{ - 2}} = \frac{{c - 3}}{1}\) (2).

Từ (1) và (2), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2a - 2b + c + 3 = 0\\\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b + 2}}{{ - 2}} = \frac{{c - 3}}{1}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{5}{3}\\b = \frac{2}{3}\\c = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a + b + c = \frac{2}{3}\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.