Một cái cổng vòm hình parabol \(y = m{x^2}\,\,\left( {m < 0} \right)\) được thiết kế cao 6 mét, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 mét. Người ta muốn gắn một thanh sắt nằm ngang vào hai thành cổng để treo băng rôn (Hai đầu của thanh sắt được gắn tiếp giáp vào mặt trong của hai thành cổng). Hãy xác định hệ số \[m\] và cho biết nếu thanh sắt được gắn ở độ cao 4,5 mét so với mặt đất thì độ dài của thanh sắt là bao nhiêu mét?

1) Thay \(x = 9\) (thoả mãn điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 1)\) vào biểu thức \[B\] ta được:

\(B = \frac{{\sqrt 9  - 1}}{{\sqrt 9  + 1}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.\)

Vậy khi \(x = 9\) thì \(B = \frac{1}{2}.\)

2) Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{4\sqrt x  + 2}}{{x + \sqrt x  - 2}}\)

 \( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{4\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{x + 2\sqrt x  - 2\sqrt x  + 2 + 4\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}.\)

Vậy \(A = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}.\)

3) Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có:

\(T = 4 - \frac{3}{2}AB = 4 - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = 4 - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}}\)

 \[ = \frac{{4 \cdot 2\left( {\sqrt x  + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{8\sqrt x  + 8 - 3\sqrt x  - 6}}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

 \( = \frac{{5\sqrt x  + 2}}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{5\left( {\sqrt x  + 1} \right) - 3}}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{5}{2} - \frac{3}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \(\sqrt x  + 1 > 0\) nên \(\frac{3}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} > 0\) suy ra \(\frac{5}{2} - \frac{3}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} < \frac{5}{2}.\)

Vì \[T\] nhận giá trị nguyên lớn nhất nên \(T = 2,\) tức là \(\frac{{5\sqrt x  + 2}}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = 2,\) suy ra \(5\sqrt x  + 2 = 4\sqrt x  + 4\) hay \(\sqrt x  = 2,\) ta tìm được \(x = 4\) (thoả mãn điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 1).\)

Vậy khi \(x = 4\) thì \[T\] đạt giá trị nguyên lớn nhất.

1) Đối tượng thống kê là: Mặt 1 chấm, Mặt 2 chấm, Mặt 3 chấm, Mặt 4 chấm, Mặt 5 chấm, Mặt 6 chấm.

Kích thước mẫu thống kê là: 20.