Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và dây \[BC\] không qua tâm. Điểm \[A\] di động trên cung lớn \[BC\] sao cho \(\Delta ABC\) là tam giác nhọn. Các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) của tam giác \[ABC\] cắt nhau ở \(H.\) Chứng minh rằng:

1) \[BCEF\] là tứ giác nội tiếp.

2) \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{CA}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\).

3) \[H\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[DEF.\]

4) Đường thẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[EF\] luôn đi qua một điểm cố định.

Xét parabol \(y = m{x^2}\,\,\left( {m < 0} \right)\) trong mặt phẳng tọa đô \[Oxy\] như hình vẽ.

Vì Parabol nhận \[Oy\]làm trục đối xứng nên \(HB = 4\;{\rm{m}}\) hay \(OE = 4\;{\rm{m}}\)

Độ cao của cổng là 6 m nên \(OH = 6\;{\rm{m}}\) suy ra \(B\left( {4;\,\, - 6} \right)\)

Vì \(B\) thuộc parabol nên ta có \( - 6 = m \cdot {4^2}\) hay \(m = \frac{{ - 3}}{8}.\) Suy ra \(y = \frac{{ - 3}}{8}{x^2}.\)

Thanh sắt đặt nằm ngang ở độ cao \(4,5\;\;{\rm{m}}\) so với mặt đất nên ta có \(IH = 4,5\;{\rm{m}}\) suy ra \(OI = OH - IH = 6 - 4,5 = 1,5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Đặt \[OF = x\,\,({\rm{m}});\,\,\,x > 0.\]

Ta có \(D\left( {x; - 1,5} \right)\) thuộc parabol nên \( - 1,5 = \frac{{ - 3}}{8}{x^2}.\) Suy ra \(x = 2.\)

Hay \[ID = 2\;{\rm{m}}{\rm{.}}\] Suy ra \(CD = 4\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Vậy độ dài của thanh sắt là 4 m.

Gọi giá niêm yết của đôi giày và chiếc vợt lần lượt là \(x,\,\,y\) triệu đồng \[\left( {x,\,\,y > 0} \right).\]

Vì tổng số tiền theo giá niêm yết của hai mặt hàng là 2,4 triệu đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 2,4.\)

Giá 1 đôi giày thể thao sau giảm giá là: \(x - 10\% x = 90\% x = 0,9x\) (triệu đồng).

Giá 1 chiếc vợt sau giảm giá là: \(y - 15\% y = 85\% y = 0,85y\) (triệu đồng).

Vì anh Khánh trả cho cửa hàng 3,2 triệu đồng khi mua 1 đôi giày thể thao và 2 chiếc vợt theo chương trình khuyến mại nên ta có phương trình: \(0,9x + 2 \cdot 0,85y = 3,2.\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2,4}\\{0,9x + 2 \cdot 0,85y = 3,2}\end{array}} \right..\)

Giải hệ phương trình trên, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,1}\\{y = 1,3}\end{array}} \right.\). Các giá trị thoả mãn điều kiện.

Vậy giá niêm yết của đôi giày là 1,1 triệu đồng, của chiếc vợt là 1,3 triệu đồng.