Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và dây \[BC\] không qua tâm. Điểm \[A\] di động trên cung lớn \[BC\] sao cho \(\Delta ABC\) là tam giác nhọn. Các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) của tam giác \[ABC\] cắt nhau ở \(H.\) Chứng minh rằng:
1) \[BCEF\] là tứ giác nội tiếp.
2) \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{CA}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\).
3) \[H\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[DEF.\]
4) Đường thẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[EF\] luôn đi qua một điểm cố định.
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và dây \[BC\] không qua tâm. Điểm \[A\] di động trên cung lớn \[BC\] sao cho \(\Delta ABC\) là tam giác nhọn. Các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) của tam giác \[ABC\] cắt nhau ở \(H.\) Chứng minh rằng:
1) \[BCEF\] là tứ giác nội tiếp.
2) \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{CA}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\).
3) \[H\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[DEF.\]
4) Đường thẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[EF\] luôn đi qua một điểm cố định.
Câu hỏi trong đề: Đề thi minh họa Toán vào 10 năm học 2025 - 2026 Thái Bình !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vẽ đường kính \[AM\] của đường tròn \(\left( O \right).\)
Vì tứ giác \[BCEF\] nội tiếp nên \(\widehat {FBC} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp) mà \(\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {AEF} = \widehat {FBC}.\)
Lại có \(\widehat {FBC} = \widehat {AMC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AC\] của đường tròn \(\left. {\left( O \right)} \right).\)
Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {AMC}\)
Mà \(\widehat {AMC} + \widehat {MAC} = 90^\circ \) (do \(\widehat {ACM} = 90^\circ \) vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left. {\left( O \right)} \right).\)
Suy ra \(\widehat {AEF} + \widehat {MAC} = 90^\circ .\) Do đó \(AM \bot EF.\)
Vì \[AM\] là đường kính nên \[AM\] đi qua \[O\] là một điểm cố định.
Vậy đường thẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[EF\] luôn đi qua một điểm cố địnhĐăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi giá niêm yết của đôi giày và chiếc vợt lần lượt là \(x,\,\,y\) triệu đồng \[\left( {x,\,\,y > 0} \right).\]
Vì tổng số tiền theo giá niêm yết của hai mặt hàng là 2,4 triệu đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 2,4.\)
Giá 1 đôi giày thể thao sau giảm giá là: \(x - 10\% x = 90\% x = 0,9x\) (triệu đồng).
Giá 1 chiếc vợt sau giảm giá là: \(y - 15\% y = 85\% y = 0,85y\) (triệu đồng).
Vì anh Khánh trả cho cửa hàng 3,2 triệu đồng khi mua 1 đôi giày thể thao và 2 chiếc vợt theo chương trình khuyến mại nên ta có phương trình: \(0,9x + 2 \cdot 0,85y = 3,2.\)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2,4}\\{0,9x + 2 \cdot 0,85y = 3,2}\end{array}} \right..\)
Giải hệ phương trình trên, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,1}\\{y = 1,3}\end{array}} \right.\). Các giá trị thoả mãn điều kiện.
Vậy giá niêm yết của đôi giày là 1,1 triệu đồng, của chiếc vợt là 1,3 triệu đồng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Xét parabol \(y = m{x^2}\,\,\left( {m < 0} \right)\) trong mặt phẳng tọa đô \[Oxy\] như hình vẽ.
Vì Parabol nhận \[Oy\]làm trục đối xứng nên \(HB = 4\;{\rm{m}}\) hay \(OE = 4\;{\rm{m}}\)
Độ cao của cổng là 6 m nên \(OH = 6\;{\rm{m}}\) suy ra \(B\left( {4;\,\, - 6} \right)\)
Vì \(B\) thuộc parabol nên ta có \( - 6 = m \cdot {4^2}\) hay \(m = \frac{{ - 3}}{8}.\) Suy ra \(y = \frac{{ - 3}}{8}{x^2}.\)
Thanh sắt đặt nằm ngang ở độ cao \(4,5\;\;{\rm{m}}\) so với mặt đất nên ta có \(IH = 4,5\;{\rm{m}}\) suy ra \(OI = OH - IH = 6 - 4,5 = 1,5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Đặt \[OF = x\,\,({\rm{m}});\,\,\,x > 0.\]
Ta có \(D\left( {x; - 1,5} \right)\) thuộc parabol nên \( - 1,5 = \frac{{ - 3}}{8}{x^2}.\) Suy ra \(x = 2.\)
Hay \[ID = 2\;{\rm{m}}{\rm{.}}\] Suy ra \(CD = 4\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)
Vậy độ dài của thanh sắt là 4 m.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập