Bài I (2,0 điểm)

Cho biểu thức\[A = \frac{7}{{\sqrt x  + 8}}\] và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  - 24}}{{x - 9}}\] với \(x \ge 0,x \ne 9\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25\).

2) Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}\].

3) Tìm \(x\) để biểu thức \(P = A.B\) có giá trị là số nguyên.

1)

Chứng minh bốn điểm \(A,B,O,H\) cùng nằm trên một đường tròn.

Vì \[AB\]  là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \[AB \bot BO\]\( \Rightarrow \widehat {ABO} = 90^\circ \).

Vì \(H\) là trung điểm của dây \[DE\] của \[\left( O \right)\] nên \[OH \bot DE\] \( \Rightarrow \widehat {AHO} = 90^\circ \)

Suy ra góc \[\widehat {ABO} + \widehat {AHO} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \]

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác \[AHOB\]

Þ tứ giác \[AHOB\] là tứ giác nội tiếp

Þ Bốn điểm \[A,H,O,B\] nằm trên cùng một đường tròn.

2)

Chứng minh \[\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BD}}{{BE}}\].

Xét \(\left( O \right)\) có \[\widehat {ABD} = \widehat {BED}\] (góc tạo bởi tia tiếp tuyến \(BA\) và dây cung \(BD\) và góc nội tiếp chắn cung \[BD\])

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEB\) có:

\(\widehat {BAE}\) là góc chung, \[\widehat {ABD} = \widehat {AEB}\] (do \[\widehat {ABD} = \widehat {BED}\])

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BD}}{{BE}}\) (tỉ số đồng dạng).

3)

Đường thẳng \(d\;\) đi qua \(E\) song song với \(AO\), \(d\) cắt \(BC\) tại \(K\). Chứng minh \(HK\,{\rm{//}}\,DC\).

Vì \[ABOH\] là tứ giác nội tiếp nên \[\widehat {OAH} = \widehat {OBH}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OH\))

Vì \[EK\,{\rm{//}}\,AO\] nên \[\widehat {OAH} = \widehat {HEK}\] (so le trong)

Suy ra \[\widehat {OBH} = \widehat {HEK}\], hay \[\widehat {KBH} = \widehat {KEH}\]

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh \(KH\) trong tứ giác \(BHKE\)

\( \Rightarrow BHKE\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {KHE} = \widehat {KBE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

Vì \[BDCE\] là tứ giác nội tiếp nên \[\widehat {CBE} = \widehat {CDE}\]  (hai góc nội tiếp cùng chắn ), hay \[\widehat {KBE} = \widehat {CDE}\].

Suy ra \( \Rightarrow \widehat {KHE} = \widehat {CDE}\)

Mà hai goc này ở vị trí đồng vị

\( \Rightarrow HK\,{\rm{//}}\,DC\).

4)

Tia \(CD\) cắt \(AO\;\) tại điểm \(P\), tia \(EO\) cắt \(BP\) tại điểm \(F\). Chứng minh tứ giác \(BECF\) là hình chữ nhật.

Gọi \(F'\) là giao điểm của \[BP\] và đường tròn \[\left( O \right)\].

Gọi \[AQ\] là tiếp tuyến thứ hai của \[\left( O \right)\].

Vì \[BDQC\] là tứ giác nội tiếp nên \[\widehat {QDC} = \widehat {QBC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

Vì \[ABOQ\] là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \[AO\] nên \[\widehat {QBO} = \widehat {QAO}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn ) hay \[\widehat {QBC} = \widehat {QAO}\]

Do đó \[\widehat {QDC} = \widehat {QAO}\] (cùng bằng \(\widehat {QBC}\))

\( \Rightarrow APDQ\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {PDA} = \widehat {PQA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn )  \(\left( 1 \right)\)

Chứng minh \(\Delta ABP = \Delta AQP\left( {c.g.c} \right)\)\[ \Rightarrow \widehat {PQA} = \widehat {PBA}\] \(\left( 2 \right)\)

Ta có \(\widehat {PDA} = \widehat {EDC} = \widehat {EBC}\)  \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra \[\widehat {PBA} = \widehat {EBC}\].

\( \Rightarrow \widehat {ABE} - \widehat {PBA} = \widehat {ABE} - \widehat {EBC}\)

\( \Rightarrow \widehat {PBE} = \widehat {ABC} = 90^\circ \).

\[ \Rightarrow \widehat {F'BE} = 90^\circ \]\( \Rightarrow F'E\) là đường kính của \[\left( O \right)\]

\( \Rightarrow F' \in OE\) \( \Rightarrow F' \equiv F\) hay \(\widehat {FBE} = 90^\circ \)

Vì \[FBEC\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {FCE} = 180^\circ  - \widehat {FBE} = 90^\circ \)

Tứ giác \[FBEC\] có \[\widehat {FCE} = \widehat {FBE} = \widehat {BEC{\rm{ }}} = 90^\circ \] nên là hình chữ nhật.

Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là \(x\) \(\left( {\rm{m}} \right)\) \(\left( {x > 0} \right)\).

Vì diện tích của của mảnh vườn hình chữ nhật là \(720\,\,{{\rm{m}}^2}\) nên chiều dài là: \(\frac{{720}}{x}\) (m).

Sau khi thay đổi kích thước:

Chiều dài của của mảnh vườn hình chữ nhật là: \(\frac{{720}}{x} + 10\) \(\left( {\rm{m}} \right)\).

Chiều rộng của của mảnh vườn hình chữ nhật là: \[x - 6\] \(\left( {\rm{m}} \right)\).

Vì diện tích của của mảnh vườn hình chữ nhật không đổi nên ta có phương trình:

\({\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {x - 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} + 10} \right) = 720\)

\( \Leftrightarrow 720 + 10x - \frac{{4320}}{x} - 60 = 720\)

\( \Leftrightarrow 10{x^2} - 60x - 4320 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 432 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 24x + 18x - 432 = 0\)

\[ \Leftrightarrow x\left( {x - 24} \right) + 18\left( {x - 24} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x - 24} \right)\left( {x + 18} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 24\left( {tm} \right)\\x =  - 18\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật đó là \[24\,\,{\rm{m}}\]; chiều dài mảnh đất hình chữ nhật đó là: \(\frac{{720}}{{24}} = 30\)\(\left( {\rm{m}} \right)\).